Grenzwert Aufgabe mit x gegen Null: lim x→0 von (sin(x)/x³ - cos(x)/x²)

Question

Aufgabe mit Grenzwertbestimmung, wo ich L´Hospital anwenden soll, verstehe das leider nicht richtig.

lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)

Das hab ich und Ableiten geht einigermaßen auch.

Nun die Funktion:
lim x→0 = (sin(x)/x³ - cos(x)/x²)

Was muss eigentlich am Schluss herauskommen?

Answer 1

Möchtest du die Lösung wissen?

Der Grenzwert lautet 1/3.

 

Der Rechenweg:

Um den Satz von l'Hospital anwenden zu können, brauchst du erstmal einen Ausdruck der Form f(x)/g(x) in dem sowohl f als auch g im gewünschten Grenzwert entweder gegen 0 oder betragsmäßig gegen Unendlich gehen.

So einen Ausdruck erhältst du, wenn du beide Brüche auf den selben Nenner bringst:

sin(x)/x³ - cos(x)/x² = (sin(x) - x*cos(x))/x³

Jetzt gehen sowohl Zähler als auch Nenner für x gegen 0 gegen 0, also kannst du den Satz anwenden.

Schaffst du es von hier an alleine weiter?

Comments

Okay! Danke soweit. Du bringst den also auf den gleichen Nenner. Wendest du dabei irgendeine Regel an, oder wie kommst du dann auf den Nenner x³?

Danach leite ich f(x)/g(x) ganz einfach einmal ab mit L´Hospital, bringe es wieder auf den selben Nenner und tue das ganze nochmal. Hab ich das soweit richtig erkannt?

Answer 2

lim x→0 SIN(x)/x^3 - COS(x)/x^2
lim x→0 (SIN(x) - x·COS(x))/x^3

L'Hospital anwenden

lim x→0 x·SIN(x)/(3x^2)
lim x→0 SIN(x)/(3x)

L'Hospital anwenden

lim x→0 COS(x)/(3) = 1/3