DIe Vektoren sind linear unabhängig, wenn der Wert der Gramsche Determinante ungleich Null ist.
Die Gramsche Determinante Gram ( A ) ist definiert als
Gram ( A ) = det ( A TA )
wobei A die Matrix der Spaltenvektoren u1 , u2 und u3 ist.
Es ist also:
$$A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$$${ A }^{ T }=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$$${ A }^{ T }A=\begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & 1 \\ -2 & 1 & 10 \end{pmatrix}$$$$Gram(A)=det({ A }^{ T }A)=132$$
Gram(A) = 132 ≠ 0
=> die Spaltenvektoren von A, also die Vektoren u1 , u2 und u3 sind linear unabhängig.
Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt den Wert 0 ergibt.
Die Skalarprodukte der drei möglichen Vektorenpaare sind die Werte, die in der Matrix ATA oberhalb bzw. unterhalb der Hauptdiagonalen stehen. Keiner dieser Werte ist Null, also steht keiner der Vektoren u1 , u2 bzw. u3 senkrecht auf einem der beiden anderen.
Ein Vektor u ist normiert, wenn gilt
|| v || = √ ( v12 + v22 + ... vn2 ) = 1
wenn er also die Länge 1 hat.
Es ist
|| u1 || = √ ( 2 2 + 0 2 + 0 2+ 0 2 ) = 2 ≠ 1
|| u2 || = √ ( 1 2 + 0 2 + 2 2+ 0 2 ) = √ ( 5 ) ≠ 1
|| u3 || = √ ( ( -1 ) 2 + 2 2 + 1 2+ 2 2 ) = √ ( 10 ) ≠ 1
Also: Keiner der drei Vektoren hat die Länge 1 also ist auch keiner der drei Vektoren normiert .
