AWP einer Dgl 2.Ordnung homogen

Question

Ich muss das AWP der ersten Zeile lösen.

\( \sqrt{1+y^{\prime}(x)^{2}}+\frac{1}{\alpha} x y^{\prime \prime}(x)=0 \quad y(A)=0 ; \quad y^{\prime}(A)=0 \)
\( A<0 \)
\( x=X(t) \) und \( y=Y(t)=y(x)=y(X(t)) \)
\( \alpha=\frac{v_{1}}{v_{2}} \)

Tipps: Substitution \( z=y^{\prime}, \frac{d}{d z} \operatorname{arsinh}(z)=\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}} \)

Answer 1

Du löst die DGL durch Reduktion der Ordnung.

Substitution:


y'= z

y''=z'


--------->


sqrt(1+z^2) +1/a* x*z' =0


Durch Trennung der Variablen erhältst Du


dx/x = -1/a * (dz/(sqrt(1+z^2)))


usw.