Ganzrationale Funktion 3ten Grades aufstellen.

Question

Ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe. bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion dritten Grades, sodas für den Grafen gilt: a) O (0|0) ist Punkt des Graphen, W (2|4) ist Wendepunkt, die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3. . b) 0 und -3 sind Nullstellen, E (3|-6) ist relativer Tiefpunkt. Es tut mir im voraus Leid wenn ich Rechtschreibfehler habe. Ich würde mich freuen wenn Ihr mir helfen könntet. Mfg, Ryuusa

Answer 1

Hi Ryuusa,

stelle die Bedingungen auf, die Du rauslesen kannst.

a)

f(0) = 0      (O)

f(2) = 4      (W)

f''(2) = 0     (Bedingung für Wendepunkt)

f'(2) = -3     (Steigung im Wendepunkt)

Damit ergibt sich:

d = 0

8a + 4b + 2c + d = 4

12a + 2b = 0

12a + 4b + c = -3


Löse und Du kommst auf f(x) = 1,25x^3 - 7,5x^2 + 12x


b)

f(0) = 0    (Nullpunkt)

f(-3) = 0   (Nullpunkt)

f(3) = -6   (E)

f'(3) = 0     (Bedingung für Extrempunkt)

Es ergibt sich:

d = 0

-27a + 9b - 3c + d = 0

27a + 9b + 3c + d = -6

27a + 6b + c = 0


Löse und Du kommst auf 1/6*x^3 - 1/3*x^2 - 5/2*x


Grüße

Answer 2

Hallo Ryuusa,

 

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

 

a)

f(0) = d = 0

f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 4

f''(2) = 12a + 2b = 0

f'(2) = 12a + 4b + c = -3

a = 1,25

b = -7,5

c = 12

d = 0

f(x) = 1,25x³ - 7,5x² + 12x

 

b)

f(0) = d = 0

f(-3) = -27a + 9b - 3c + d = 0

f(3) = 27a + 9b + 3c + d = -6

f'(3) = 27a + 6b + c = 0

a = 1/6

b = -1/3

c = -2,5

d = 0

f(x) = 1/6 * x³ - 1/3 * x² - 2,5

 

Besten Gruß

Comments

Danke :) Eine Frage hätte ich dazu. Wie kamen sie auf diese Rechenschritte. Da bin ich noch etwas unwissend. Also ich meine damit, wie sie dies Schritt für Schritt gelöst haben. Mfg Ryuusa

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Gern geschehen :-)

 

Zunächst stellt man die allgemeine Funktion 3. Grades und ihre Ableitungen auf, also

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

f'''(x) = 6a

 

Dann schaut man - wie von Unknown in seiner Antwort geschrieben - nach, wie man die gegebenen Informationen in diese allgemeine Funktion einsetzen kann.

 

1. Aufgabe:

(0|0) ist Punkt des Graphen, also muss doch gelten f(0) = 0; das eingesetzt ergibt

I. f(0) = a * 0³ + b * 0² + c * 0 + d = 0

 

W (2|4) ist Wendepunkt. Also gehört dieser Punkt zum Graphen und es gilt (f2) = 4; eingesetzt:

II. f(2) = 8a + 4b + 2c + d = 4

 

W ist Wendepunkt, das heißt, dort ist die 2. Ableitung = 0 (notwendige Bedingung für einen Wendepunkt); also f''(2) = 0; eingesetzt:

III. f''(2) = 12a + 2b = 0

 

Die zugehörige Wendetangente hat die Steigung -3; also muss auch die Steigung der gesuchten Funktion an dieser Stelle -3 sein; also ist f'(2) = -3; wir setzen wieder ein:

IV. f'(2) = 12a + 4b + c = -3

 

Nun haben wir also vier Gleichungen (I. bis IV.) mit den vier Unbekannten a, b, c und d.

Ein solches Gleichungssystem kann man dann zum Beispiel mit dem Gauß-Verfahren oder mit dem Taschenrechner lösen - letztere Möglichkeit ziehe ich vor :-D

 

Etwas klarer Ryuusa?

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Ja super danke :-) Ich kann mit Erleichterung sagen, dass ich es jetzt verstehe :-)

Answer 3

b) \(x=0\) und \(x=-3\) sind Nullstellen, \(E (3|-6)\) ist relativer Tiefpunkt. Gesucht ist ganzrationale Funktion dritten Grades.

\(f(x)=a*x*(x+3)*(x-N)\)

\(E (3|-6)\):

\(f(3)=a*3*(3+3)(3-N)=18a(3-N)\)

\(18a(N-3)=6\)   →  \(a=\frac{1}{3N-9}\)  mit \(N≠3\)

\(f(x)=\frac{1}{3N-9}*[x*(x+3)*(x-N)]\)

\(f´(x)=\frac{1}{3N-9}*[(x+3)*(x-N)+x*(x-N)+x*(x+3)]\)

\(f´(3)=\frac{1}{3N-9}*[(3+3)*(3-N)+3*(3-N)+3*(3+3)]\)

\(\frac{1}{3N-9}*[(3+3)*(3-N)+3*(3-N)+3*(3+3)]=0\)  

\(N=5\)   \(a=\frac{1}{6}\)

\(f(x)=\frac{1}{6}*x*(x+3)*(x-5)\)