Partialsumme berechnen ∑(n=1 bis ∞) 1/(4n2-1)

Question

∑(n=1 bis ∞) 1/(4n²-1)

zum Beispiel so vorgehen?:

n₁ = 1/(4*1²-1)= 1/3

n₂ = 1/(4*2²-1)= 1/15

n₃ = 1/(4*3²-1= 1/35

n₄ = 1/(4*4²-1= 1/63

und so weiter.

Aber trotzdem verstehe ich das bei meiner vorherigen Aufgabe nicht -_-

https://www.mathelounge.de/127950/ich-verstehe-das-nicht-es-geht-um-konvergenz#c127960

 

Stimmt das hier überhaupt? Und macht man das da genau so?

Answer 1

Du hast bis jetzt nur die ersten Reihenglieder berechnet. Du sollst aber die Partialsummen s_nbetrachten, also die Summen der ersten n Reihenglieder.

Es ist:

s₁ = n₁ = 1 / 3

s₂ = s₁ + n₂ = ( 1 / 3 ) + ( 1 / 15 ) = 6 / 15 = 2 / 5

s₃ = s₂ + n₃ = ( 2 / 5 ) + ( 1 / 35 ) = 15 / 35 = 3 / 7

Nun ...?
Erkennst du schon eine Gesetzmäßigkeit?

Ohne es berechnet zu haben, sage ich voraus, dass gilt: s₄ = 4 / 9

Nachrechnen:

s₄ = s₃ + n₄ = ( 3 / 7 ) + ( 1 / 63 ) = 28 / 63 = 4 / 9

Offensichtlich erhöht sich der Zähler immer um 1, ist also gleich dem Index n der Partialsumme s_n, während sich der Nenner, beginnend mit 3 immer um 2 erhöht. Er berechnet sich also aus dem Index n der Partialsumme s_n durch 2 * n + 1

Somit lautet die allgemeine Darstelllung der n-ten Partialsumme:

s_n = n / ( 2 n + 1 )

 

Die 173. Partialsumme etwa ist also:

s₁₇₃ = 173 / 347

Lässt man nun n gegen unendlich gehen, so erhält man den Wert der Reihe. Dieser ist:

lim _n->∞ s_n

= lim _n->∞ n / ( 2 n + 1 )

= lim _n->∞ 1 / ( 2  + ( 1 / n ) )

= 1 / 2

Comments

Hi JotEs :) Ich muss schon sagen. ..Du kannst auch seehr gut erklären :) Und darf ich dann nochmal kurz fragen was überhaupt eine Partialsumme ist? :) Du weist ja dass ich noch in der Realschule bin ... :)

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Oh, ich dachte, das wäre aus meiner Erklärung klar geworden ...

Die n-te Partialsumme einer Reihe ist die Summe der ersten n Reihenglieder,geschrieben: s_n

Also:

1. Partialsumme:

s₁ = n₁ = 1 / 3

2. Partialsumme:

s₂ = s₁ + n₂ = ( 1 / 3 ) + ( 1 / 15 ) = 2 / 5

3. Partialsumme:

s₃ = s₂ + n₃ = ( 2 / 5 ) + ( 1 / 35 ) = ( 15 / 35 ) = 3 / 7

usw.

Verstanden? :-)

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Ahso ja verstanden :) ^^ Dankeee und könntest du auch eenn du lust hast, mir bei meiner andeten frage helfen? Ich habe den link oben :)

Answer 2

Hi Emre,

Du kannst wieder eine Partialbruchzerlegung machen.

Dabei schreibe das als

1/(4n^2-1) = 1/((2n-1)*(2n+1))     |<- dritter Binomi

Nun Partialbruchzerlegung, siehe meinen alten Link^^.

Es ergibt sich:

1/((2n-1)*(2n+1)) = 1/2 * (1/(2n-1) + 1/(2n+1))

Das ist genau wie bei der von Dir zitierten Seite. Nur erster und letzter Summand spielen eine Rolle, wobei der letzte Summand wieder gegen 0 geht. Übrig bleibt

1/2 * (1) = 1/2

Also ist der Wert der Summe gegen 1/2 gehend ;).

Grüße

Comments

Hi Unknown :) Eigentlich dachte ich immer dass man die Partialbruchzerlegung beim Integrieren von Funktionen braucht ..^^ Leider habe ich immer noch Probleme damit :(

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Du siehst, die Partialbruchzerlegung ist vielseitig ;).

In Deinem Alter vielleicht aber noch nicht ganz so wichtig. Die Idee von JotEs ist da naheliegender. Mit Verweis auf den alten Link ist aber das meinige im Prinzip 1 zu 1 wie das im Link ;).

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Aahhh verstehe ..so einiges Ich werde es mir nochmal angucken und.es versuchen :)