Polynom Kurvendiskussion: Hinreichende und notwendige Bedingungen. Was bei Sattelpunkt noch?

Question

Wiedermals HAllo!

Ich bin gerade mal kurz verwirrt! Also, ich benötige wie immer nur eine Bestätigung :D

Kurvendiskussion: Extrema: Notwendige Bedingung: f´(x)=0

                                                      Hinreichende Bedingung: f`(x)=>0 =TP  und f`(x)=<0 = HP

und

Wendepunkt:           Notwendig: f``(x)=0

                                   Hinreichend: f`(x)= <0 L-R-Krümmung und f`(x)=>0 R-L-Krümmung.
Wenn x bei der hinr. Bedingung des Wendepunkts 0 beträgt, liegt dann definitiv ein Sattelpunkt vor? Und was für Kriterien braucht ein Sattelpunkt noch?

DANKE

Comments

Sattelpunkt:

f '(x) = 0

f ''(x) = 0

f '''(x) ungleich Null.

Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente.

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das heißt dass wenn ich gerade den Wendepunkt errechne wird mir auffallen dass in der dritten ableitung x= 0  ist und ich werde die x-Koordinate des Sattelpunkts in f und f` einsetzen um dies zu überprüfen. Wenn da dann 0 herauskommt ist es ein Sattelpunkt. Richtig?

Answer 1

Hi,

das ist leider nicht richtig. Die hinreichende Bedinung ist

f'(x) = 0 und f''(x) > 0 bzw. f''(x) < 0 (und zudem keinswegs ≤ bzw. ≥)

 

Gleiches gilt entsprechend für den Wendepunkt.

 

Der Sattelpunkt hat zusätzlich zur Wendepunktbedingung noch den Spezialfall, dass f'(x) = 0 ist.

 

Alles klar?!

 

Grüße

Comments

die notwendige Bedingung ist doch fStrich(x)=0 (also erste Ableitung) und mit der zweiten Ableitung also der hinreichenden Bedingung errechnet man dann ob HP oder TP vorliegt oder?

Wie macht man übrigens den einen Strich von der Ableitung auf der Tastatur?

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notw. Bedingung für TP:

f'(x) = 0

hinr. Bed.:

f'(x) = 0 und f''(x) > 0


Siehe auch nochmals hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion#.C3.9Cbersicht_.C3.BCber_Kriterien

Super Übersicht ;).


Ok? ;)


Den ' macht man,  indem man Shift und # drückt. Direkt neben "Enter".

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Naja gut eigentlich meinte ich es genauso ;)

nur das wikipedia so schlau ist und die notwendige Bedingung mit der hinreichenden gleichsetzt nämlich : f'(x)=0. aber Danke :*

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hab nochmal eine kurze banale Frage: eine Verschiebung in y-Richtung bedeutet, dass man z.b. den Graphen nur entlang der y-Achse also nur nach oben oder unten verschieben kann richtig?

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Vorsicht, es ist von Wichtigkeit zu unterscheiden, ob man die hinreichende Bedingung (eines Tiefpunkts) nur mit f''(x) > 0 angibt, oder f'(x) = 0 und f''(x) > 0.

Gibt sonst sicher Abzug, denke ich! ;)


Aber ist nur eine Notationssache. Sache ist nun klar, oder? ;)

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Zu Deiner Nachfrage: Yup, so isses ;).

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hab noch mal eine Frage: also ich habe die Funktion f(x)={ \frac { 1 }{ 5 } x }^{ 5 }-{ \frac { 2 }{ 3 } x }^{ 3 }+x

und muss sie auf Extrema und Sattelpunkte untersuchen.

Also erste Ableitung und dann substituiert: raus hatte ich dannfür z in der Substitution -1. (also z sei x²)

jetzt muss ich doch die Wurzel von z ziehen damit ich x bekomme, geht aber natürlich nicht. Kannst du mir bitte helfen?

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Es ist

f(x) = 1/5*x^5-2/3x^2+x

f'(x) = x^4-2x^2+1

f''(x) = 4x^3-4x

f'''(x) = 12x^2-4

 

Extrema:

f'(x) = 0 = x^4-2x^2+1   |x^2 = z

z^2-2z+1 = 0      |binom. Formel erkennen (oder pq-Formel)

(z-1)^2 = 0

z_1,2 = 1

Also

x_1,2 = ±1

Überprüfen mit zweiter Ableitung:

f''(1) = 4*1^3-4*1 = 0

-> Keine Extrema

 

Wendepunkte:

f''(x) = 0 = 4x^3-4x = 4x(x^2-1)

x₁ = 0

x_2,3 = ±1    (dritte binom. Formel)

Überprüfen mit dritter Ableitung:

Spar ich mir jetzt, ist aber immer ≠ 0.

 

Also

W₁(0|0)

W₂(-1|f(-1))

W₃(1|f(1))

Bei W₂ und W₃ haben wir schon festgestellt, dass die Steigung 0 ist. Wir haben also zwei Sattelpunkte hier.

 

Alles klar? :)

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Du begründest die Steigung in den Wendepunkten von 0 damit dass es keine Extrema gibt richtig?

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Jein,

ich begründe es damit, dass ich die erste Ableitung schon untersucht hatte. Bei den Extrema. Und ja, die waren dort keine Extrema (sonst wären es ja keine Wendepunkte) ;).

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okay. Also für einen Sattelpunkt gilt: die ersten  zwei Ableitungen = 0, also wenn man die x-Koordinate des Sattelpunkts eingegeben hat?!

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Und f'''(x) ≠ 0. Nur dann hast Du recht ;).

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Hab noch eine Aufgabe gerechnet: f(x)=x⁵+2,5x^4.

Vielleicht hast du ja Lust davon kurz Extrema, Wendepunkte und Sattelpunkte zu bestimmten:

Meine Lösungen sind:  HP(-40l-96000000?) SP (0l0) WP(-1,5l5.0625)

Der HP kommt mir sehr komisch vor!!?

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Ach Mist bin ich dumm sorry. HP ist (-2l8)

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Fast richtig. (0|0) ist kein Sattelpunkt. Überprüfe nochmals die dritte Ableitung (ist in der Tat etwas "schwierig"). Was erhältst Du dort?

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Also erstmal durch "Nullsetzen" der zweiten Ableitung für die Wendepunkte, erhalte ich x₁= 0 und x₂=-1,5

Das setze ich in die dritte ABleitung und erhalte 0 und  45 (also RL-Krümmung. Und du?

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Das ist richtig (den zweite Zahlenwert habe ich jetzt nicht überprüft).

Du hast also

 

f''(0) = 0

und

f'''(0) = 0

 

Nun ist es aber so, dass nach der hinreichenden Bedingung f''(0) = 0 und f'''(0) ≠ 0 gelten muss. Das ist jedoch nicht der Fall!

 

Mir ist leider nicht bekannt, wie ihr dann fortfahrt das zu untersuchen. Vergiss nicht, dass f'(x) = 0 auch erfüllt ist. Du hast also die notwendige Bedingung für ein Extremum ebenfalls erfüllt.

Was nun wirklich vorliegt kann man auf zweierlei Weise feststellen:

1. Man bildet die vierte Ableitung. Diese wird in der Tat ≠ 0 sein -> Extremum liegt vor (es handelt sich um ein Minimum.

2. Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung. Damit kommst Du gleichfalls aufs Minimum ;).

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Ich hab die Funktion mal in ein Programm eingegeben dass den Graphen zeichnet und am Ursprung, würde ich behaupten dass es ein Sattelpunkt aber auch ein Minimum ist. Naja egal in der ZAK kommen eh nur funktionen dritten Grades dran. Danke

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Wenn das keine Schulaufgabe war, könnte ich mir in der Tat vorstellen, dass das so nicht drankommt. Ich dachte, dass in der Schule nicht über die dritte Ableitung hinausgegangen wird. Aber das natürlich ohne Gewähr.

Sonst aber sah es ja gut aus :). Also nochmals viel Erfolg!

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Ach ja hab nochmal eine Frage: In der Schule haben wir für Sattelpunkte Folgendes aufgeschrieben:

f'(x+i)>0 und f'(x-i)>0 ->Extremum


f'(x+i)<0 und f'(x-i)<0 -> Sattelpunkt

Wir haben das nur flüchtig am Ende der Stunde gemacht, deshalb hab ichs nicht verstanden. Vielleicht kannst du was damit anfangen

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Was soll denn das i sein?

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Ich glaube es steht für indefined. Ich weiß es aber nicht genau. Ist eigentlöich auch nicht so wichtig denn ich weiß jetzt wie man es auf andere Weise macht :)

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Gut, da würde ich Dir nämlich, so befürchte ich, nicht helfen können.


Bin für heute auch vollens weg.


Cya und toitoitoi ;).

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Tschüss schönen Abend Danke für die ganze Hilfe!!

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Gerne ;)   .