Es ist
f(x) = 1/5*x5-2/3x2+x
f'(x) = x4-2x2+1
f''(x) = 4x3-4x
f'''(x) = 12x2-4
Extrema:
f'(x) = 0 = x4-2x2+1 |x2 = z
z2-2z+1 = 0 |binom. Formel erkennen (oder pq-Formel)
(z-1)2 = 0
z1,2 = 1
Also
x1,2 = ±1
Überprüfen mit zweiter Ableitung:
f''(1) = 4*13-4*1 = 0
-> Keine Extrema
Wendepunkte:
f''(x) = 0 = 4x3-4x = 4x(x2-1)
x1 = 0
x2,3 = ±1 (dritte binom. Formel)
Überprüfen mit dritter Ableitung:
Spar ich mir jetzt, ist aber immer ≠ 0.
Also
W1(0|0)
W2(-1|f(-1))
W3(1|f(1))
Bei W2 und W3 haben wir schon festgestellt, dass die Steigung 0 ist. Wir haben also zwei Sattelpunkte hier.
Alles klar? :)