Ganzrationale Funktionen - Differentialrechnung Funktion 4.Grades

Question

Ich schreibe eine Mathe Arbeit und verstehe eine Sache noch nicht so ganz..

Es liegen folgende Informationen vor:

ganzrationale Funktion 4. Grades

Sattelpunkt im Ursprung

Extrempunkt bei x= 3/2

Ein Punkt der Funktion ist: P(1/-1)

...

Die Aufgabe ist es die Funktionsgleichung herauszufinden indem durch die gegebenen Infos 4 Gleichungen aufgestellt werden und nach Möglichkeit mit dem Gauß Algorithmus die Werte für a₄ a₃ a₂ a₁ und a₀ bzw. e,d,c,b,a herausgefunden werden.Dadurch sollte man dann die nötigen Werte für die Funktionsgleichung erhalten.

Mein größtes Problem hier ist der sattelpunkt..

Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen,

Comments

Sattelpunkt:

f '(0) = 0

f ''(0) = 0

Answer 1

Allgemeine Funktionsgleichung und Ableitungen:

$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\

f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\

f''(x)=12ax^2+6bx+2c$$

Die nächste bekannte Eigenschaft ist ein Sattelpunkt im Ursprung. Das bedeutet erst mal, dass $$f(0)=0$$ ist und da es sich um einen Sattelpunkt handelt, gilt außerdem $$f'(x)=0~~und~~f''(x)=0~.$$

Extrempunkt bei (3 | 2):

$$f'(3)=0,~f(3)=2$$

Ein Punkt P(1 | -1):

$$f(1)=-1$$

Mit Hilfe dieser Angaben kannst du nun ein Gleichungssystem aufstellen, welches du lösen musst.

Comments

danke für die Antwort,

wir müssen es in der Schule aber mit dem Gauß Algorithmus lösen, deswegen verstehe ich die Vorgehensweise mit den Gleichungssystemen etc. nicht wirklich.

Ist dir der Gauß Algorithmus bekannt?
LG

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Ja der Gauß-Algorithmus ist ein Algorithmus, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Du musst dieses System jedoch erst mal aufstellen. Ich habe dir in meiner Antwort die allgemeine Funktionsgleichung und die der Ableitungen hingeschrieben und außerdem aufgelistet, was die Eigenschaften aus der Aufgabe "mathematisch" bedeuten. Diese musst du einfach in die allgemeinen Gleichungen einsetzen, dann erhältst du ein entsprechendes Gleichungssystem. Ich mach mal ein Beispiel.

$$f(0)=0~\Rightarrow~f(0)=a\cdot 0 + b\cdot 0 + c \cdot 0 + d \cdot 0 + e = 0~\Rightarrow~e=0$$

Oder du hast den Punkt P(1 | -1), d.h. f(1)=-1. Einsetzen in die allgemeine Formel liefert also $$f(1)=a+b+c+d=1$$

LG

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Endlich!! Super jetzt hab ichs verstanden wie ich die nötigen Gleichungen für die Aufstellung des Algorithmus hinbekomme!

Vielen vielen Dank! :-)

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Kein Problem :)

Answer 2

Hi,

Du brauchst 5 Gleichungen. Eine Funktion vierten Grades hat 5 Unbekannte.

Ein Sattelpunkt ist dabei ein spezieller Wendepunkt. Er hat die Steigung 0.

Damit ergibt sich:

f(0) = 0

f'(0)=0

f''(0)=0

f'(3/2) = 0

f(1) = -1

 

Also das Gleichungssystem:

e = 0

d = 0

2c = 0

27/2*a + 27/4*b + 3c + d = 0

a + b + c + d + e = -1

 

Das gelöst Und Du kommst auf

f(x) = x^4 - 2x^3

 

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Danke für die schnelle Antwort,

eine Frage aber noch..

Wie kamst du auf das Gleichungssystem?  also :

e = 0

d = 0

2c = 0

27/2*a + 27/4*b + 3c + d = 0

a + b + c + d + e = -1

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Du hast die allgemeine Gleichung einer Funktion vierten Grades mit

f(x) = ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Leite das zweimal ab und setze die Bedingungen ein ;).


(@Essen falls noch was ist)

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Gerne ;)    .

Answer 3

f(x) = a·x^4 + b·x^3 + c·x^2 + d·x + e
f'(x) = 4·a·x^3 + 3·b·x^2 + 2·c·x + d
f''(x) = 12·a·x^2 + 6·b·x + 2·c

Sattelpunkt im Ursprung

f(0) = 0
e = 0

f'(0) = 0
d = 0

f''(0) = 0
c = 0

Extrempunkt bei x = 3/2

f'(3/2) = 0
13.5·a + 6.75·b = 0

Ein Punkt der Funktion ist: P(1/-1)

f(1) = -1
a + b = -1

Lösung des LGS ist: a = 1 ∧ b = -2

Damit lautet die Funktion

f(x) = x^4 - 2·x^3

Skizze: