Grenzwert Aufgabe lim x-->0 mit e-Funktion

Question

Ich kann den folgenden Rechenschritt nicht nachvollziehen:

\( \frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{e^{6 x}-1}{x} \ldots \ldots . . \) wird \( z u \ldots \ldots . . .6 \frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{e^{6 x}-1}{6 x} \)

wie es weiter geht verstehe ich.

Aber ich würde e^6 vor den Limes ziehen und der Rest bleibt gleich....

Comments

Überleg dir mal, dass das im Wesentlichen der Differenzenquotient der e-Funktion ist.

Answer 1

Korrektor: Ja man darf mit 6 erweitern und dann die eine 6 vor den Grenzwert ziehen. Aber eigentlich bringt das nicht viel.

e^6 darfst du nicht vor den Grenzwert ziehen. Es ist ja kein Faktor von dem x.

lim x-->0 (e^{6·x} - 1)/(x)

L'Hospital

lim x-->0 6·e^{6·x}/1 = 6

Comments

Wie kommst Du darauf, dass man 1/6 vor den Grenzwert ziehen kann, aber nicht 6? Beides Konstant und beides möglich ;).

Auch e^6 kann vorangestellt werden (bleibt die Sinnfrage).

Answer 2

Hi Ace,

ich sehe gerade nicht was das bringen soll?! Also hier wurde offensichtlich mit 6 erweitert.


Aber mein Alternativvorschlag, der vielleicht direkt einleuchtender ist ;).


Direkte Anwendung von l'Hospital führt auf

lim 6*e^{6x} = 6

Denn für x->0 wird e^{6x} = 1.

Ein Einzeiler also ;).


Grüße

Comments

Besten dank euch beiden. Also der rechenschritt wurde gemacht, als wird l´Hospital noch nicht hatten :)

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Ist aber trotzdem verstanden nun? l'Hospital nun bekannt? Ohne wüsste ich gerade nicht wie ansetzen :P.

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ohne l'Hospital würde man 6x=z substituieren und den entweder bekannten oder mit MWS leicht zeigbaren Grenzwert lim ( (e^z-1) / z ) = 1 für z→0 verwenden

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Ah hab die lösung.

Es wurde wirklich mit 6 erweitert. Dann kann man 6x im Nenner und Zähler Substituieren durch y

y--> 0

 

dann bleibt                   6 lim e^y -1/y daraus folgt 6 * 1

 

vielen dank :)

 

ps. Da war jemand schneller :D

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Ah stimmt. Hab noch an die Subst. gedacht, aber nun klar :).