Grenzwert berechnen lim n→∞ für (ln(e^n + e^{n^2})) / n^2

Question

Aufgabe:

Grenzwert berechnen:

$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { ({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }  }{ { n }^{ 2 } }  $$

Ansatz:

Meine Idee ist, den ln zu vereinfachen.

$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { ({ e }^{ n }+{ e }^{ { e }^{ 2ln(n) } }) }  }{ { n }^{ 2 } }  $$

Answer 1

Eigentlich wäre das doch ein schönes Beispiel für das Einschließungskriterium, oder?
In der Abschätzungskette
$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { \left({ e }^{ { n }^{ 2 } }\right) }  }{ { n }^{ 2 } } \le \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { \left({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }\right) }  }{ { n }^{ 2 } } \le \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { \ln { \left({ e }^{{ n }^{ 2 }}+{ e }^{ { n }^{ 2 } }\right) }  }{ { n }^{ 2 } }$$ lassen sich die beiden äußeren Limiten leicht bestimmen und mit deren Gleichheit steht auch der mittlere fest. Die linke Seite wurde ja schon bestimmt, bleibt noch die rechte übrig.

Comments

Hi,

Das ist gut :)
Edit: Hab mein Fehler entdeckt.

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Genau!! Wie konnte ich nur den Einschnürungssatz vergessen.

aber wirklich schlau werde ich nicht draus.

$$ \frac { ln({ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ { e }^{ { n }^{ 2 } }+e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } }  $$

$$ \frac { { n }^{ 2 } }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ 2e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } $$

$$1\le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ 2)+ln(e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } $$

$$1\le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln({ 2)+{ n }^{ 2 } } }{ { n }^{ 2 } } $$

$$1\le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le ln(2)+1$$

habe ich was übersehen?

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Ja da müsste stehen

$$ .. \leq \frac{ln(2)}{n^2} + 1 $$

Hatte ich auch zuerst übersehen ;)

Answer 2

versuchs doch mal mit L'Hôpital und bisschen kürzen :)

Du kommst dann auf dasselbe Ergebnis wie Georg.

Gruß

Comments

leider darf ich L'Hopital nicht verwenden.

Gruß

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Achso okay, dann mach die folgende Umformung für den Zähler

$$ ln(e^n + e^{n2}) = \ln \left( e^{n^2} \cdot (e^{n-n^2} + 1) \right) $$

Jetzt Logarithmusgesetze und Kürzen :)

Noch ein Tipp : \( e^{n-n^2} \to 0 \text{ für } n \to \infty \)

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Ach na klar!!!

dann passt es ja.

$$ 1\le \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \le \frac { ln(2) }{ { n }^{ 2 } } +1 $$

mit

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { ln(2) }{ { n }^{ 2 } } +1\quad n\rightarrow \infty \quad 1$$

so kommt auch wegen den sandwichkriterium

$$\underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } } \quad n\rightarrow \infty \quad 1$$

Answer 3

Ich bin von der 1 überzeugt.

nehmen wir einmal an wir hätten nur
ln(e^{n^2}) / n^2
der ln und e heben sich auf. Es bleibt
n^2 / n^2 = 1

in der Klammer steht jedoch
( e^n + e^{n^2} ).
Der 1.Term wird bei größer werdendem n immer
unbedeutender. Erst recht bei n -> ∞

Bereits bei n = 4 ist das Gesamtergebnis 1.000000384.
Bereits bei n = 5 zeigt mein Mathe Programm 1 an.

Comments

So denke ich das auch. Nur muss ich es zeigen.
$$ \underset { n\rightarrow \infty  }{ lim } \frac { ln({ e }^{ n }+{ e }^{ { n }^{ 2 } }) }{ { n }^{ 2 } }  $$
ist von Typ: $$ \frac { \infty  }{ \infty  } $$
durch umformen muss ich irgendwie auf das Ergebnis kommen. So dass am Ende ich sicher sein kann dass es 1 ist.
Gruß