Konvergenzradius Der Potenzreihe

Question

Hallo Ihr,


Ich habe folgende Aufgabe bekommen und weiß leider nicht, wie ich diese bearbeiten soll, für jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!

Man soll den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe:


Berechnen Sie die folgende Summe: ∑ (unendlich ; k=1)    ((-1)^{k} (e^{-4k}/3^{2k}) (x-2)^k


vielen Dank!

Answer 1

Zunächst eine Umformung des Koeffizienten:

$$\frac { { (-1) }^{ k }{ e }^{ -4k } }{ { 3 }^{ 2k } } =\frac { { (-1) }^{ k } }{ { e }^{ 4k }{ 3 }^{ 2k } } =\frac { { (-1) }^{ k } }{ { ({ e }^{ 2 }) }^{ 2k }{ 3 }^{ 2k } } =\frac { { (-1) }^{ k } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } }$$

Nun Berechnung des Konvergenzradius r mit der  Quotientenformel:

$$r=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { a }_{ n } }{ { a }_{ n+1 } }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { \frac { { (-1) }^{ k } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } }  }{ \frac { { (-1) }^{ k+1 } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2(k+1) } }  }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { (-1) }^{ k } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } } *\frac { { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k+2 } }{ { (-1) }^{ k+1 } }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { (-1){ (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k }{ (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2 } } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { { { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k }{ (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2 } } }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2k } }  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ { (3{ e }^{ 2 }) }^{ 2 } }$$$$=9{ e }^{ 4 }$$

Comments

Sind bei solchen aufgaben die aufgaben stellung so das sich die k aufheben? Danke

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Nein, nicht unbedingt. 

Wenn sich, wie vorliegend, das k heraushebt, ist die Bestimmung des Grenzwertes für k -> ∞ sehr einfach, weil dann der Term, von dem der Grenzwert bestimmt werden muss, nicht von k abhängt. Der Grenzwert des Terms ist dann einfach der Term selber.

Bei "schwierigeren" Aufgaben, bei denen sich das k nicht heraushebt, muss eben der Grenzwert anders bestimmt werden.

Beispiel:

∑^∞_k=1 (1 / k ²) x ^k

r = lim _k->oo  | (1 / k ²) / (1 / ( k + 1 ) ²) |

= lim _k->oo ( k + 1 ) ² / k ²

= lim _k->oo ( k ² + 2 k + 1 ) / k ²

= lim _k->oo ( 1 + ( 2 / k ) + ( 1 / k ²) )

Hier hebt sich das k nicht heraus. Die Bestimmung des Grenzwertes ergibt:

= 1

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Mir ist leider nicht klar warum x verschwindet? Und dann in der hochzahl eine 2 steht?ich hätte gedacht da muss x^k+1 stehen.

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Nun, Es soll ja der Konvergenzradius r einer Reihe ∑^∞_k=1 a_k x ^k bestimmt werden. Bei Vorliegen bestimmter Voraussetzungen gilt:

r = lim _k->oo  | a_k / a_k+1 |

Es werden also nur die Koeffizienten a_k betrachtet, die Potenz x ^k selber spielt bei der Bestimmung des Konvergenzradius keine Rolle.

 

Und dann in der hochzahl eine 2 steht?ich hätte gedacht da muss x^k+1 stehen.

Bezieht sich das auf die ursprüngliche Aufgabe oder auf das Beispiel in meinem Kommentar? 

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Ah ok dir formel hab ich nicht gekannt. X^{k+1} sollte es sein, das war für die selbe aufgabe gestellt. Ich danke dir war hilfreich für mich^^