Bestimmen Sie die Potenzreihendarstellungen dieser Funktion: (a) cosh(z+w)=cosh(z)cosh(w)...

Question

Die Funktionen

\( \cosh : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) (Cosinus hyperbolicus),
\( \sinh : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \) (Sinus hyperbolicus),

sind definiert durch

\( \begin{array}{l} \cosh (z):=\frac{1}{2}(\exp (z)+\exp (-z)) \\ \sinh (z):=\frac{1}{2}(\exp (z)-\exp (-z)) \end{array} \)

Bestimmen Sie die Potenzreihendarstellungen dieser Funktionen, und zeigen Sie, dass für alle \( z, w \in \mathbb{C} \) gilt:

(a) \( \cosh (z+w)=\cosh (z) \cosh (w)+\sinh (z) \sinh (w) \),

(b) \( \sinh (z+w)=\cosh (z) \sin h(w)+\sinh (z) \cosh (w) \),

(c) \( \cosh ^{2}(z)-\sinh ^{2}(z)=1 \).

Answer 1

zu (a): Wende die Definitionen an, multipliziere aus und fasse zusammen.$$\quad\cosh z\cdot\cosh w+\sinh z\cdot\sinh w$$$$\overset{\small\color{blue}{\text{Def}}}=\frac12\big(\exp z+\exp(-z)\big)\cdot\frac12\big(\exp w+\exp(-w)\big)+$$$$\quad+\frac12\big(\exp z-\exp(-z)\big)\cdot\frac12\big(\exp w-\exp(-w)\big)$$$$=\frac14\big(\exp(z+w)+\exp(z-w)+\exp(-z+w)+\exp(-z-w)\big)+$$$$\quad+\frac14\big(\exp(z+w)-\exp(z-w)-\exp(-z+w)+\exp(-z-w)\big)$$$$=\frac14\big(2\exp(z+w)+2\exp(-z-w)\big)$$$$=\frac12\bigg(\exp(z+w)+\exp\big(-(z+w)\big)\bigg)$$$$\overset{\small\color{blue}{\text{Def}}}=\cosh(z+w).$$