vektoren spiegelung darstellungsmatrix

Question

c) Leiten Sie eine Darstellungsmatrix Ms einer Spiegelung an der Geraden, die im 1. und 3. Quadranten liegt und mit der x-Achse einen Winkel von 30° einschließt. Bestimmen Sie dazu die Bilder der kanonischen Basis.

Ms ist angegeben, damit wir weiter machen können.

\( M_{s}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \sqrt{3} \\ \frac{1}{2} \sqrt{3} & -\frac{1}{2}\end{array}\right) \)

d) Überlegen Sie geometrisch: Welche Vektoren werden durch die Abbildung s auf sich selbst abgebildet? Diese Punkte nennt man Fixpunkte.

e) \( \varphi: V \rightarrow V \) sei eine lineare Abbildung.
Beweisen Sie: \( F=\{v \in V \mid \varphi(v)=v\} \) ist ein Unterraum von \( \mathrm{V} \).

f) Nutzen Sie nun die Darstellungsmatrix aus Aufgabenteil c). Berechnen Sie mithilfe der Matrix Ms alle Vektoren \( \mathrm{x} \), für die \( \mathrm{M}_{\mathrm{s}} \cdot \mathrm{x}=\mathrm{x} \) gilt. Tragen Sie das Ergebnis in eins der obigen Koordinatensysteme ein.

g) Berechnen sie \( M_{s} \cdot M_{s} \). Was bedeutet das Ergebnis geometrisch?

h) Überlegen Sie: Warum ist die Spiegelung an einer Geraden, die nicht durch den Ursprung geht, KEINE lineare Abbildung? Der Einsatz von Geogebra ist für diesen Aufgabenteil leider nicht hilfreich. Zeichnen Sie ein Bild und erklären Sie daran.

Ansatz/Problem:

Ich weiß nicht wie man die kanonische Basis macht.. ich weiß auch nicht, was ich in d) machen soll.

Zu e) wo muss ich die Unterraumkriterien benutzen, da steht nur F=....

Answer 1

Ich würde einfach die Spiegelachse und die Senkrechte dazu als Basis nehmen.

Eigenvektor zum Eigenwert 1 sollte sein [1, TAN(30°)] = [1, √3/3] = 1/3·[3, √3]

Eigenvektor zum Eigenwert -1 sollte sein [√3, -3]

T = [3, √3; √3, -3]

T^{-1} = [1/4, √3/12; √3/12, - 1/4]

Ms = T * D * T^-1 = [3, √3; √3, -3] * [1, 0; 0, -1] * [1/4, √3/12; √3/12, - 1/4] = [1/2, √3/2; √3/2, - 1/2]