Darstellungsmatrix von Spiegelung S bzgl. der Standardabsis von B

Question

Aufgabe:

Sei S: ℝ^{2} -> ℝ^{2} die Spiegelung an der Achse {(λ,0)^{T} | λ ∈ ℝ }. Geben Sie die Darstellungsmatrix M_{B}^{B }(S) bzgl. der Standardbasis B von ℝ^{2} an.
 

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Lösung S\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) und S\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \) ist. Da die lineare Abbildung eindeutig durch das Bild der Basisvektoren betimmt ist, folgt M_B^B = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)

Leider verstehe ich nicht, wie man auf S\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \) und S\( \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} \) gekommen ist. Kann mir das jemand erklären? Vielen Dank vorab!

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Selbst finde ich die Antwort nicht. 

Abgetippter Text: 

Sei S: ℝ^2 -> ℝ^2 die Spiegelung an der Achse {(λ,0)^T | λ ∈ ℝ }. Geben Sie die Darstellungsmatrix M_B^B (S) bzgl. der Standardbasis B von ℝ^2 an.

Editieren kann ich meine Frage leider nicht mehr. Edit erledigt (Lu).

Answer 1

Hallo lerxx,

bei einer Spiegelung existieren immer Eigenvektoren, die in der Spiegelebene bzw. bei 2D auf der Spiegelachse liegen, das ist hier $$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$mit dem Eigenwert \(1\) und dem einen Eigenvektor senkrecht zur Spiegelachse; hier $$e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$mit dem Eigenwert \(-1\); das ist die eigentliche Spiegelung. Und das ist auch schon alles! Heißt dann formal, dass hier zum einen$$S\left( \begin{pmatrix} \lambda \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} \lambda  \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \lambda \in \mathbb{R}$$und $$S\left( \begin{pmatrix} 0 \\ \lambda  \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 \\ -\lambda  \end{pmatrix}$$sein muss.

Gruß Werner