Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum! Produktionsfunktion F(K,L) = KL

Question

Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion auf   F(K,L)=KL.

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK =12 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL =26. Minimieren Sie die Kosten des Unternehmers unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 710 ME produziert werden soll.
Wie hoch ist die Menge des Inputfaktors Kapital in diesem Kostenminimum?

 Mögliche Lösungen:

a. 12.89
b. 43.28
c. 39.22
d. 55.96
e. 50.57

 

Kann mir da wer helfen? Ich komm nicht drauf??

Answer 1

Lösung:

1. Hauptfunktion aufstellen:
    12K + 26L

 

2. Nebenfunktion aufstellen:
     KL  - 710

 

3. Lagrange-Funktion aufstellen:

     12K + 26L - λ(KL  - 710)

 

4. Nach K und L auflösen:
    12 = λL
    26 = λK

Diesen Schritt kannst du eigentlich einklammer, da wir nicht den Lagrange-Multiplikator berechnen.

 

5. Umformen und dividieren:
    12 : 26 = L : K              | * 26 | * K
    12K = 26L                    | : 12
         K = 2,166666667L

 

6. Das K in die Nebenbedingung einsetzen, umforen und das L berechnen:
    2,166666667L² = 710                     | : 2,166666667
                            L² = 327,6923077    | Wurzel ziehen
                            L   = 18,10227355

7. Nun K berechnen:
    K = 2,166666667 * 18,10227355 = 39,22159269


Somit ist die Aufgabe gelöst. K beträgt 39,22. Es müsste also c korrekt sein.

Man könnte es auch einfacher machen, jedoch finde ich, dass die Lagrange-Methode angewendet werden sollte, da dies nur eine Übung ist und man sie dadurch hoffentlich immer im Kopf behält.

Ich hoffe, dass ich dir damit helfen konnte

LG
Marco-Hannes
Student der Wirtschaftswissenschaften UIBK
 

Comments

Und wenn faktor L gefragt wäre, dann wäre 18,10 die Antwort, oder verstehe ich es falsch?

Answer 2

An anderer Stelle in MatheLounge in 2017 wird auf diese Frage hier von 2013 verwiesen.

Falls es jemandem in der Antwort von jd8211 zu schnell geht, hier ausführlicher.

Hauptfunktion (= Zielfunktion) aufstellen:  Kosten(K, L) = 12K + 26L soll minimiert werden.
Nebenbedingung:  K * L = 710
Lagrange-Funktion aufstellen:  Kosten = 12K + 26L - λ(KL  - 710). 
An dieser Stelle muss man Kosten nach K und nach L ableiten. 
d Kosten / d K = 12 – λL = 0   =>   L = 12 / λ
d Kosten / d L = 26 – λK = 0   =>   K = 26 / λ
λ eliminieren, ergibt einen Zusammenhang zw. L und K:
12 / L = 26 / K   =>   26 L = 12 K   =>   K = 26/12 L
Verwenden der NB:  KL = 710:  26/12 L * L = 26/12 L^2 = 710
L = 18,10
K = 39,22