Tangentensteigung und Tangentengleichung aus Wurzelfunktion

Question

Super, dass man hier so scchnell Hilfe und Unterstützung bekommt.
Ich hätte da noch eine Frage zur Funktion (1)$$f(x)=\sqrt{x^2+2x}$$. Und zwar würde ich gerne die Steigung und die Tangentengleichung bei x=3 bestimmen.
Mein Ansatz:
$$f(x)=\sqrt{x^2+2x}$$
Mit der Kettenregel ableiten:
$$f'(x)=\frac{1}{2*\sqrt{x^2+2x}}*2x+2=\frac{2x+2}{2*\sqrt{x^2+2x}}$$
Anschließend setze ich x=3 in f '(x) und erhalte damit
$$m_t=f'(3)\approx\,1,0327$$
Die Steigung der Tangente lässt sich mit
$$tan\,(\alpha)=|f\,'(3)| \Rightarrow \alpha = arctan (1,0327)\approx\,45,92^*$$
Die Geradengleichung der Tangente:
$$y_t=m_t * x+b$$
(1) Schritt den Funktionswert an der Stelle x=3 bestimmen:
$$f(3)=\sqrt{3^2+2*3}=\sqrt{15}$$
Das Punktepaar ist ja dann (3|sqrt(15))
Anschließend berechne ist b:
$$b=\frac{y_t}{m_t*x}=\frac{\sqrt{15}}{1,0327*3}\approx1,25$$
Die Geradengleichung der Tangente latutet demnach:
$$y_t=1,0327*x+1,25$$
Ist das so korrekt?
Nochmanls Danke und dasselbe im Voraus!!
Beste Grüße

Answer 1

Wir brauchen nur die Funktion und die Ableitung

f(x) = √(x^2 + 2·x)

f'(x) = (x + 1)/√(x^2 + 2·x)

Jetzt in beides die Stelle x = 3 einsetzen

f(3) = √(3^2 + 2·3) = √15

f'(3) = 4/√15

Nun die Tangentengleichung an der Stelle 3 bestimmen

t(x) = f'(3) * (x - 3) + f(3)

t(x) = 4/√15 * (x - 3) + √15 = 4/√15·x + √15/5

Das war's dann auch schon.

Gerundet wäre es übrigens

t(x) = 1.032795558·x + 0.7745966692

Aber ich finde es schöner, wenn man es exakt stehen lässt.