Darf man nur den Zähler eines Bruches mit *(-1) negativ machen (ohne Nenner)?

Question

Folgende Aufgabe:

 

(3a - 4b)²/(4b + 3a)(4b - 3a) = (-3a + 4)²/(4b + 3a)(4b - 3a)

 

Hier wurden offensichtlich die Terme in der Klammer des Zählers negativ gemacht. Verstehe nicht so ganz, warum dies erlaubt ist, da 1/3 etwas anderes ist als -1/3

Answer 1

 

(3a - 4b)²/[(4b + 3a)(4b - 3a)] = (-3a + 4b)²/[(4b + 3a)(4b - 3a)]

Hier hast Du glaube ich das rot kenntlich gemachte b vergessen.

Und ich denke, dass alles rechts vom Bruchstrich unter diesen gehört, also bitte Klammern nicht vergessen :-)

 

Normalerweise hast Du Recht: Man verändert den Wert eines Bruchs, wenn man nur den Zähler mit -1 multipliziert.

In diesem Falle gilt aber wegen des Quadrats

(3a - 4b)² = (-3a + 4b)²

denn

(3a - 4b)² = 9a² - 24ab + 16b² | 2. binomische Formel

und

(-3a + 4b)² = (-3a)² - 24ab + 16b² = 9a² - 24ab + 16b²

 

Den ganzen "Trick" hat man deshalb durchgeführt, um im nächsten Schritt einfach kürzen zu können:

(4b - 3a)² / [(4b + 3a)(4b - 3a)] =

(4b - 3a) / (4b + 3a)

 

Alles klar?

 

Besten Gruß

Answer 2

(3a - 4b)²/(4b + 3a)(4b - 3a) = (-3a + 4)²/(4b + 3a)(4b - 3a)

Beachte, dass hier (-1)^2 = 1 eingefügt wurde.

Also

 

(3a - 4b)²/((4b + 3a)(4b - 3a) )

=( (-1)^2 *(3a - 4b)² ) /((4b + 3a)(4b - 3a) )

= ( (-1)(3a - 4b))² / ((4b + 3a)(4b - 3a))           

= (-3a + 4b)²/ ((4b + 3a)(4b - 3a))

Answer 3

Nimm mal

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

oder nimm mal

(- a + b)^2 = (b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

Das ganze gilt weil

(a)^2 = (- a)^2