Grenzwert einer Reihe durch Partialbruchzerlegung bestimmen

Question

Berechnung des Grenzwertes einer Reihe.

Die Partialbruchzerlegung fällt mir nicht weiter schwer.

\( \dfrac{6 x-16}{2 x^{2}+x-6} \Rightarrow 6 x-16=A(2 x-3)+B(x+2) \)

Für A = 4

und B = -2

Daraus folgt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}=\frac{4}{x+2}-\frac{2}{2 x-3} \)

Nun hab ich Probleme, den Grenzwert zu bestimmen. Mein Ansatz war zu schauen, wohin die beiden Einzelglieder gehen und dann zu sehen, ob sich da etwas ergibt.

Answer 1

Solltest du, wie anzunehmen ist, lim _x->oo gemeint haben, dann ist der Grenzwert beider Summanden jeweils Null (da ihr Nenner bei konstantem Zähler immer größer wird) und damit ist auch der Grenzwert ihrer Summe gleich Null.  

Answer 2

lim (x → ∞) 4/(x + 2) = 0

lim (x → ∞) 2/(2x - 3) = 0

Damit ist der Grenzwert 0 - 0 = 0

Das kann man aber auch einfacher haben indem man den originalen Bruch durch x kürzt.

(6x - 16) / (2x^2 + x - 6) = (6 - 16/x) / (2x + 1 - 6/x)

Nun hat der Zähler den Grenzwert 6 und der Nenner den Grenzwert ∞. Damit hat der Bruch den Grenzwert 0.

Comments

Okay das war jetzt eifacher als gedacht :)

Ich habe aber vergessen das Summenzeichen zu setzen also

\( \sum \frac{4}{x+2}-\frac{2}{2 x-3} \)

wäre der beschrebene Lösungsweg trotzdem der selbe?

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Du kannst erstmal den Grenzwert einer Summe aufteilen in die Summe der einzelnen Summanden.

∑ (4/(x + 2)) - ∑ (2/(2x - 3))

Die Summanden bekommt man noch über Indexverschiebung weg. Allerdings hast du hier in der Summe noch gar nicht geschrieben von wo bis wo die Summe gebildet werden soll.

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\( \sum \limits_{x=0}^{00} \frac{4}{x+2}-\frac{2}{2 x-3} \)

So nun habe ich es.

Ich betrachte nun also für 4/x+2 :  4/2 + 4/3 +4/4 +4/5.....

und für 2/2x-3 2/-3+ 2/-1 + 2/1+2/3+....

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Irgendetwas stimmt hier nicht. Die Reihe mit 4/(x+2) ist doh die harmonische Reihe, also divergent.

Ich denke, es sollte nochmal der OriginalAufgabenText geprüft werden.