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folgende Aufgabe macht mir Probleme:

Ich soll diese Funktion g(x) := x|x| auf ihrem max. Definitionsbereich, ihrer Diff'barkeit untersuchen und die Ableitung angeben.

Als max. Def. hätte ich jetzt R ohne 0 gesagt. Aber wie ich da Diffbarkeit zeigen soll, keine Ahnung.
Avatar von
Waum nimmst Du die Null raus?
Ich dachte, weil |x| nicht in 0 diff'bar ist und daraus hatte ich das Ganze dann geschlossen.
Für den maximalen Dfinitionsbereich ist es doch erstmal völlig egal, ob die Funktion differenzierbar ist.
Man guckt nur, wo der Term \(x|x|\) definiert ist. Und das ist nunmal ganz \(\mathbb{R}\).
Ok, danke. Das war mir vorher nicht so ganz klar. Dachte immer, ich müsste sehen, wo sie diff'bar ist.

2 Antworten

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Maximaler Definitionsbereich: x ∈ |R

Differenzierbarkeit:

Ich würde zunächst die Funktion in zwei Teilfunktionen zerlegen

            x*(-x) für x < 0

f(x) =

          x*x für x ≥ 0

Für alle x < 0 ist die Steigung offensichtlich gleich -2, für alle x > 0 ist die Steigung gleich 2. Es stellt sich jetzt die Frage, wie groß  die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x = 0 ist ?

Je nachdem von welcher Seite man dies betrachtet, d.h. von welcher Seite aus man die Ableitung zu bilden versucht, erhält man verschiedene Steigungen:

linksseitig f ' (0) = -2, rechtsseitig f ' (0) = 2. Man sagt, die linksseitige Ableitung stimmt mit der rechtsseitigen Ableitung nicht überein. In so einem Fall liegt bei x = 0 eine sogenannte Knickstelle vor, bei der die Funktion nicht differenzierbar ist.

Ableitungen:

Für x < 0: f'(x) = -2*x

Für x > 0: f'(x) = 2*x

Für x = 0 gibt es keine.

Avatar von 5,3 k
Hallo :)

Wie kommst du denn überhaupt auf die 2? Also, wenn ich für x=0 einsetze, dann kommt da bei mir 0 raus :/
Doch, die Funktion ist bei x=0 differenzierbar. Das muss man mit Hilfe des Differentialquotienten untersuchen: \(\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{x|x|}{x}=\lim_{x\to 0}|x|=0=g'(0).\)
Hab's mit der 2 jetzt verstanden, Steigung sagtest du ja!

Und noch etwas: "Für alle x < 0 ist die Steigung offensichtlich gleich -2, für alle x > 0 ist die Steigung gleich 2." Das stimmt natürlich nicht. Für x<0 ist die Steigung -2x, für x>0 2x.
 

Für alle x < 0 ist die Steigung offensichtlich gleich -2, für alle x > 0 ist die Steigung gleich 2.

Das Blaue oben ist offensichtlich falsch.

Warum denn 2x bzw. -2x? Also, die 2 (-2) ist doch im Prinzip mein m und nicht das x mit dazu, oder liege ich da falsch?
g ist doch gar keine Gerade. D.h. der Anstieg kann nicht konstant sein. Und was soll m sein?
Ich dachte, m wäre meine Steigung. Jetzt bin ich vollkommen verwirrt. Dann verstehe ich doch nicht, wie ich überhaupt auf 2 bzw. (-2) komme?
Für x<0 ist \(g(x)=x\cdot (-x)=-x^2.\) Wenn du das ableitest, kommst du für x<0 auf \(g'(x)=-2x\). Und genauso kannst du es für x>0 machen.
Achso, alles klar, danke :) Stimmt, meine Ableitung ist ja bekanntlich meine Steigung, sehr blöder Fehler!!

Dankeschön nochmals :)
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f(x) =x IxI → -x²   , x< 0

                           x²  , x>0     , also Fallunterscheidung !!

f´(x) = 2IxI   , aber an der Stelle 0 nicht differenzierbar !
Avatar von 2,3 k
Laut des Beweises von Nick, ist es aber diff'bar auch an der Stelle 0.
f ist überall, also auch an der Stelle x=0, stetig differenzierbar, mit der Ableitung f'(x)=2|x|.
Die Ableitung f' wiederum ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar, sonst schon.
Um diese letzte Aussage ging es in der Aufgabe aber nicht.
Stimmt , es heißt ja x größer / gleich  0 ! Ok.

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