Diff'barkeit für g(x) := x|x| zeigen

Question

folgende Aufgabe macht mir Probleme:

Ich soll diese Funktion g(x) := x|x| auf ihrem max. Definitionsbereich, ihrer Diff'barkeit untersuchen und die Ableitung angeben.

Als max. Def. hätte ich jetzt R ohne 0 gesagt. Aber wie ich da Diffbarkeit zeigen soll, keine Ahnung.

Comments

Waum nimmst Du die Null raus?

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Ich dachte, weil |x| nicht in 0 diff'bar ist und daraus hatte ich das Ganze dann geschlossen.

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Für den maximalen Dfinitionsbereich ist es doch erstmal völlig egal, ob die Funktion differenzierbar ist.
Man guckt nur, wo der Term \(x|x|\) definiert ist. Und das ist nunmal ganz \(\mathbb{R}\).

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Ok, danke. Das war mir vorher nicht so ganz klar. Dachte immer, ich müsste sehen, wo sie diff'bar ist.

Answer 1

Maximaler Definitionsbereich: x ∈ |R

Differenzierbarkeit:

Ich würde zunächst die Funktion in zwei Teilfunktionen zerlegen

            x*(-x) für x < 0

f(x) =

          x*x für x ≥ 0

Für alle x < 0 ist die Steigung offensichtlich gleich -2, für alle x > 0 ist die Steigung gleich 2. Es stellt sich jetzt die Frage, wie groß  die Steigung des Funktionsgraphen an der Stelle x = 0 ist ?

Je nachdem von welcher Seite man dies betrachtet, d.h. von welcher Seite aus man die Ableitung zu bilden versucht, erhält man verschiedene Steigungen:

linksseitig f ' (0) = -2, rechtsseitig f ' (0) = 2. Man sagt, die linksseitige Ableitung stimmt mit der rechtsseitigen Ableitung nicht überein. In so einem Fall liegt bei x = 0 eine sogenannte Knickstelle vor, bei der die Funktion nicht differenzierbar ist.

Ableitungen:

Für x < 0: f'(x) = -2*x

Für x > 0: f'(x) = 2*x

Für x = 0 gibt es keine.

Comments

Hallo :)

Wie kommst du denn überhaupt auf die 2? Also, wenn ich für x=0 einsetze, dann kommt da bei mir 0 raus :/

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Doch, die Funktion ist bei x=0 differenzierbar. Das muss man mit Hilfe des Differentialquotienten untersuchen: \(\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0} \frac{x|x|}{x}=\lim_{x\to 0}|x|=0=g'(0).\)

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Hab's mit der 2 jetzt verstanden, Steigung sagtest du ja!

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Und noch etwas: "Für alle x < 0 ist die Steigung offensichtlich gleich -2, für alle x > 0 ist die Steigung gleich 2." Das stimmt natürlich nicht. Für x<0 ist die Steigung -2x, für x>0 2x.
 

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Für alle x < 0 ist die Steigung offensichtlich gleich -2, für alle x > 0 ist die Steigung gleich 2.

Das Blaue oben ist offensichtlich falsch.

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Warum denn 2x bzw. -2x? Also, die 2 (-2) ist doch im Prinzip mein m und nicht das x mit dazu, oder liege ich da falsch?

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g ist doch gar keine Gerade. D.h. der Anstieg kann nicht konstant sein. Und was soll m sein?

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Ich dachte, m wäre meine Steigung. Jetzt bin ich vollkommen verwirrt. Dann verstehe ich doch nicht, wie ich überhaupt auf 2 bzw. (-2) komme?

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Für x<0 ist \(g(x)=x\cdot (-x)=-x^2.\) Wenn du das ableitest, kommst du für x<0 auf \(g'(x)=-2x\). Und genauso kannst du es für x>0 machen.

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Achso, alles klar, danke :) Stimmt, meine Ableitung ist ja bekanntlich meine Steigung, sehr blöder Fehler!!

Dankeschön nochmals :)

Answer 2

f(x) =x IxI → -x²   , x< 0

                           x²  , x>0     , also Fallunterscheidung !!

f´(x) = 2IxI   , aber an der Stelle 0 nicht differenzierbar !

Comments

Laut des Beweises von Nick, ist es aber diff'bar auch an der Stelle 0.

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f ist überall, also auch an der Stelle x=0, stetig differenzierbar, mit der Ableitung f'(x)=2|x|.
Die Ableitung f' wiederum ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar, sonst schon.
Um diese letzte Aussage ging es in der Aufgabe aber nicht.

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Stimmt , es heißt ja x größer / gleich  0 ! Ok.