Lokale Extremstellen von f(x):= x sin x + cos x - x^2/4

Question

wie kann ich die lokalen Extremstellen von f(x):= x sin x + cos x - x²/4 bestimmen?

Answer 1

Indem man die 1. Ableitung bildet, diese Null setzt und dann mit der 2. Ableitung versucht zu klären, ob ein Maximum oder ein Minimum vorliegt.

f(x):= x*sin(x) + cos(x) - x²/4

Achtung: x*sin(x) hier Produktregel anwenden

f'(x) = x*cos(x) + 1*(-sin(x)) -sin(x) - 2*x/4 = x*cos(x) -x/2

Notwendige Bedingung für Extrema f'(x) = 0 -> x*cos(x) -x/2 = 0 -> x(cos(x)-1/2) =0

-> x_E1= 0 oder (cos(x)-1/2) = 0 -> cos(x) = 1/2 -> x_E2/3 = ± π/3 + k*2π, mit k ∈ ℤ

Hinreichende Bedingung für Extrema f''(x) ≠ 0

f''(x) = x*(-sin(x)) + 1*cos(x) - 1/2 = - x*sin(x) + cos(x) - 1/2

f''(x_E1 = 0) = 1/2 > 0 -> Minimum bei (0, f(0)=1)

f''(x_E2)  < 0 -> Maximum

f''(x_E3)  >  0 -> Minimum |

Comments

die Nummerierung deiner x_E ist ganz schön haarsträubend

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Sorry, aber ist eigentlich so üblich

Für x² = 4

Kann man die Lösung folgendermaßen angeben:

 x₁ = 2 und x₂ = -2 oder halt kompakter x_1/2 = ± 2

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und was gehört bei dir alles zu x_E2 ?

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hj21:

1. Das ginge vielleicht schneller, wenn du kurz ein tabellarische Darstellung des von dir erwarteten Resultats angeben würdest.

2. Möchtest du dir keinen Usernamen zulegen? Du sammelst dann Punkte und es ist einfacher erkennbar, ob du der Fragesteller bist.

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x_E2 = π/3 + k*2π, mit k ∈ ℤ

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Diese Antwort habe ich fast erwartet.

Vorher war es nur haarsträubend, jetzt ist es falsch.

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Na dann, rechne uns doch mal die richtige Lösung vor .-)

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gemäß deiner Lösung   x_E2 = π/3 + k*2π, mit k ∈ ℤ   wäre bei  -(47/3)·π  ein Maximum.  Nun ist zwar einerseits die Funktion f offensichtlich y-Achsen-symmetrisch, andereseits lässt sich +(47/3)·π  nicht in der Form  π/3 + k*2π  mit ganzzahligem k darstellen. Erkennst du den Widerspruch ?

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hm, vielleicht bin ich aufgrund von latenten Haar- und Hirnmangel dem nicht gewachsen, weil ich mir  -(47/3)·π  nicht zu erschließen vermag

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k = -8 ist doch wohl eine ganze Zahl ? (Ich war so frei, mir diesen k-Wert auszudenken, aber jeder andere würde ebenfalls einen Widerspruch zu deiner Behauptung ergeben.)

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ja in der Tat, den Widerspruch sehe ich jetzt. Danke für den Hinweis. Ich muss darüber nachdenken ...

cos(x) = 0,5 ergibt,sagen wir mal im Intervall [-2π, 2π] , die x-Werte -π/3 und π/3 oder nicht?

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Für den Rest kannst du die Inspiration hier stehlen: https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%28x%29+%3D+0.5

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Gibt's im angegebenen Intervall nicht vier Lösungen?

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cos(x) = 0,5 ergibt,sagen wir mal im Intervall [-π, π] , die x-Werte -π/3 und π/3  ja, natürlich.

Deine Menge  x_E = ± π/3 + k*2π, mit k ∈ ℤ  aller Extremstellen (außer 0) war ja auch völlig in Ordnung,  allerdings war die Aufteilung auf Minima und Maxima so unklar, dass du selbst in die Falle getappt bist.

Richtig ist also Folgendes : Maxima liegen an den Stellen x_Max = ± (π/3 + n·2π) mit  n ∈ ℕ₀ vor  (das sind die folgenden Vielfachen von π :  ... , -13/3 , -7/3 , -1/3 , 1/3 , 7/3 , 13/3 , ...),  Minima liegen außer bei x=0 noch an den Stellen  x_Min = ± (5π/3 + n·2π) mit  n ∈ ℕ₀ vor  (das sind die folgenden Vielfachen von π :  ... , -17/3 , -11/3 , -5/3 , 5/3 , 11/3 , 17/3 , ...)

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ja, habe mich verschrieben, meinte eigentlich [-π, π]

Stimmt, das leuchtet ein. Ich war in diesem Punkt (Min, Max) wohl etwas zu luschig. Sorry für meinen Denkfehler.  

Answer 2

Hi,

bilde die Ableitung:

 

f'(x) = sin(x) + x*cos(x) - sin(x) - x/2 = x*cos(x) - x/2 = x*(cos(x) - 1/2)

(Die ersten beiden Summanden sind die Anwendung der Produktregel)

Nun Nullsetzen:

f'(x) = 0

Das ist der Fall für

x₁ = 0

cos(x) - 1/2 = 0

cos(x) = 1/2

x₂ = -π/3 + 2πn

x₃ = π/3 + 2πn

 

Das solltest Du nun noch mit der zweiten Ableitung überprüfen (oder mittels VZW).

 

Grüße