Differentialgleichung y' = 1-1/3*y

Question

Wie berechne ich y' = 1-1/3*y

Allgemeine Lösung ist gesucht.

 

Answer 1

 

warum löst du diese Aufgabe nicht wie folgt?

 

y' = 1 - 1/3y       | bringe -1/3y auf die linke Seite

y' + (1/3)*y = 1

 

jetzt hast du eine lineare inhomogene DGL mit dem Aufbau

 

y' + g(x)*y = h(x)

 

g(x) = 1/3

h(x) = 1

 

Diese DGL kann man nun mit der Methode der Variation der Konstanten lösen

 

y = [  ∫(1 * e^∫1/3*dx   ) dx + C] *  e^-∫1/3dx

Comments

EDIT: Ich versuch gleich hier noch die Caret-Umwandlung zu testen.
y = [  ∫(1 * e^{∫1/3*dx}   ) dx + C] *  e^{-∫1/3dx}
wäre das Resultat von

y = [  ∫(1 * e^ (∫1/3*dx)   ) dx + C] *  e^ (-∫1/3dx)

einfach ohne die Leerschläge nach ^  .

ii78: War das so gemeint?

Answer 2

Ich mache das mal ganz allgemein vor ohne Zahlen

y' = a·y + b

y' / (a·y + b) = 1

∫ y' / (a·y + b) dx = ∫ 1 dx

LN(a·y + b) / a = x + c

LN(a·y + b) = a·x + a·c

a·y + b = e^{a·x + a·c}

a·y + b = e^{a·x}·e^{a·c}

a·y = e^{a·x}·e^{a·c} - b

y = e^{a·x}·e^{a·c}/a - b/a

Konstante c normieren

y = c·e^{a·x} - b/a

 

Jetzt mal Deine Werte einsetzen:

y' = a·y + b mit a = -1/3 und b = 1

y = c·e^{- x/3} - 1/(-1/3)

y = c·e^{- x/3} + 3

Comments

Ich glaube du hast am Schluss noch einen Caret-Konflikt.

Sollte doch so sein: y = c·e^ (-1/3·x) + 3

Umwandlung klappt nicht y = c·e^{-1/3·x} + 3

Umgewandlung klappt nicht mal so: y = c*e^{-1/3*x} + 3

EDIT: Ich übe noch ein wenig: y = C*e^{-1/3 * x} + 3

Einfach nochmals neu eingeben - ohne 'copy' - 'paste' von deinem Text klappt.

Eingabe war nun  y = C*e^ (-1/3 * x) + 3

Die ersten 3 Zeilen 

y' = a·y + b

y' / (a·y + b) = 1

∫ y' / (a·y + b) dx = ∫ 1 dx

schreibe ich in der Regel mit dx und dy um nicht mit x und y durcheinander zu kommen. - Kommt natürlich  auf's Gleiche raus.

dy/dx  = a·y + b            |*dx, : (ay+b)

dy / (a·y + b) = dx

∫ 1 / (a·y + b) dy = ∫ 1 dx

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Warum klappt dort die Umwandlung denn nicht? wegen dem minus ? hm. kann doch eigentlich nicht sein.

c·e^{- x/3} + 3

Answer 3

Hi,

y' = 1-1/3*y   |*3, dann durch recht Seite

3y'/(3-y) = 1  |integrieren

-3*ln(1-1/3*y) = x + c     |:(-3), dann e-Funktion

1-1/3y = e^{-x/3 + d}      |wobei d = -c/3 |-1, dann *(-3)

y = -3*e^{-x/3 + d} + 3

 

Die e-Funktion kann geschrieben werden als e^{-x/3} * e^d, wobei e^d = h

Damit ergibt sich:

y = -3*h*e^{-x/3} + 3

Für -3*h = g haben wir letztlich

y = g*e^{-x/3} + 3

 

Grüße

Comments

Verstehe ich nicht ganz

Ich habe C* e^-x / 1/3 als Lösung. Warum stimmt das nicht?

Habe zunächst nach y' aufgelöst.

Anschließend Trennung der Variablen:

dy/dx= Integral von dy/(-1/3y) dy = Integral (dx)

-ln(1/3y) = x+C          | * (-1)

ln (1/3y) = -x+C

y = C* e^-x / (1/3)     bzw. *3


Falsch?


Danke für die tolle Hilfe!

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Oke, völlig falscher Ansatz, fällt mir gerade auf.

Variation der Konstanten ist anzuwenden.

Nur habe ich am Schluss das Integral 1/ e^-1/3x
Auflösung des Integrals bringt dann bei mir 3*e^1/3x.

Als Lösung erhalte ich dann y= C*e^-1/3x + 3*e^1/3x

stimmt das?

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richtig, du musst MDVK hier anwenden.

Ich erhalte für y = [3*e^{1/3*x} + C]* 1/(3e^{1/3x})

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Kleine Korrektur von mir

e^-∫1/3dx   =  1/(e^{1/3*x})

 

Die 3 von vorhin gehört nicht rein!

 

Zu deiner Frage:

"Nur habe ich am Schluss das Integral 1/ e^-1/3x"

Meinst du das ganz aussen? Das ist kein Integral, das ist schon die Lösung des Integrals! Das brauchst du nicht nochmal zu lösen. (siehe meine Antwort)

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aber ich erhalte doch bei variation der konstanten folgenden ansatz: c(x)'*e^{-1/3x}=1 c(x)'=1/e^{-1/3x} =e^{1/3x} ergibt für c(x) = 3*e^{1/3x} stimmt?