Ableitung: f(x) = (2·e^x - 1)/e^{0.5·x}

Question

Es sollen die Ableitungen der Funktion

(2(e^x)-1) / (e^0,5x)

aufgestellt werden. Auch nach mehrmaligen Versuchen, komme ich auf kein gescheites Ergebnis. Kann mir eventuell jemand mit Rechenansatz, Rechenweg und Lösung weiterhelfen?

 

Answer 1

Wir vereinfachen die Funktion zunächst mal etwas

f(x) = (2·e^x - 1)/e^{0.5·x}
f(x) = 2·e^x / e^{0.5·x} - 1 / e^{0.5·x} 
f(x) = 2·e^{0.5·x} - e^{- 0.5·x}

Jetzt kann man recht einfach nach Kettenregel die Ableitung bilden.

f'(x) = e^{0.5·x} + 1/2·e^{-0.5·x}

Answer 2

(2(e^x)-1) / (e^0,5x)

kann auch geschrieben werden als (2(e^x)-1) * (e^-0,5x)

Da sowohl im ersten Faktor (2(e^x)-1) als auch im zweiten Faktor (e^-0,5x) die Variable x steht, muss man die Produktregel anwenden:

u = (2(e^x)-1)  -> u' = 2*e^x

v = (e^-0,5x) -> v' = (-0,5)*e^-0,5x

-> Produktregel = u*v' + v*u'

=> f'(x) = (2(e^x) - 1)*((-0,5)*e^-0,5x) +  (e^-0,5x)* 2*e^x = (e^-0,5x)*(-e^x + 0,5 + 2*e^x) = (e^-0,5x)*(e^x  + 0,5)

Comments

Kann ich also sowohl diesen Weg, als auch den Weg aus der ersten Antwort wählen?

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ja und es gäbe noch einen 3. Weg über die Quotientenregel.

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Mit der Quotientenregel hatte ich es versucht, aber ohne Erfolg. Hatte aber auch nicht daran gedacht die Formel erstmal umzustellen, das macht das natürlich gleich einfacher. Die zweite Ableitung lässt sich ja durch dieselbe Methode herleiten, aber wenn ich jetzt die Nullstellen und Wendepunkte herausfinden möchte, nach was löse ich die Formeln dann auf?

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Nullstellen f(x) = 0

Extremstellen f'(x) = 0

Wendestellen f''(x) = 0

Substituiere vielleicht z = e^{0.5x}

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Immer schauen, ob man die Sache vereinfachen kann (s. auch unbedingt die Antwort vom Mathecoach). Das zahlt sich meistens aus.

Nullstellen bedeuten f(x) = 0 und nach x auflösen.

Extrema finden bedeutet f'(x) = 0 setzen und nach x aulösen. Danach die gefundenen x-Werte (XE) in f''(x) einsetzen. Ist dann f''(xE) größer als 0, liegt ein Minimum vor, ist f''(xE) kleiner als 0, liegt ein Maximum vor. Erst wenn da Null rauskommt, kommen die Wendepunkte in Betracht, wenn mich nicht alles täuscht.