log2 (x+2) + log2 x - log2 3 = 0

Question

Kann mir jemand erklären wie man die Definitionsmenge und Lösungsmenge bestimmt? Ich habe die Logarithmusrechenregel vor mir, verstehe aber ziemlich wenig..

z.B.
log2 (x+2) + log2 (x) - log2 (3) = 0
log (3x-5) = lg (2x+6)  <<< lg ist auf Basis 10!? was ist log??
x^log (x) = 1000
(lg x)^2 - lg (x) = 0,75
15 * 10^x-2 = 4^x * 7

  LG

Comments

log = Logarithmus

Die Zahl nach dem log gibt die Basis an.

Zudem gilt: log(a) + log(b) = log(a*b) und log(a) - log(b) = log(a/b)

---

Hier ein Vorschlag zur dritten Gleichung:

$$ \begin{aligned}x^{\log_{b}x} & =1000\\
x^{\frac{\lg x}{\lg b}} & =1000 & \quad\mid\lg\left(\right)\\
\frac{1}{\lg b}\cdot\left(\lg x\right)^{2} & =3 & \quad\mid\cdot\lg b\\
\left(\lg x\right)^{2} & =3\cdot\lg b & \quad\mid\pm\sqrt{\phantom{h}}\\
\lg x & =\pm\sqrt{3\cdot\lg b} & \quad\mid10^{\left(\right)}\\
x & =10^{\pm\sqrt{3\cdot\lg b}} & \left(b>1\right)
\end{aligned} $$

Kommentare dazu sind erwünscht!

Answer 1

log2(x + 2) + log2(x) - log2( 3 ) = 0

log2((x + 2)·x/3) = 0

(x + 2)·x/3 = 1

x = -3 ∨ x = 1

 

log (3x-5) = lg (2x+6)  <<< lg ist auf Basis 10!? was ist log??

Wenn dahinter keine Basis angegeben ist, dann ist das unklar. In Schulen wird dann auch oft der 10er Logarithmus genommen. Wolframalpha interpretiert es dann als natürlichen Logarithmus. Im Zweifel mal nachsehen wie ihr es benutzt habt.

Answer 2

Zur Bestimmung der Definitionsmenge:

Das Argument von Logarithmustermen muss positiv sein, also bei
log₂(x+2) + log₂(x) - log₂(3) = 0 muss x+2 > 0 und x > 0, also x > -2,  gelten.
Insgesamt muss hier also D = { x ∈ ℝ | x > -2 } sein und es folgt L = { 1 }.

Exponentialterme sind für beliebige reelle Argumente (Exponenten) definiert.