Logarithmische Gleichung lösen: log2(x) = log3(x+1)

Question

Aufgabe:

log2(x) = log3(x+1) lösen

Problem/Ansatz:

Hallo, ich kenne die Antwort dieser Gleichung (x=2) aber bekomme sie nicht mit einem Rechenweg gelöst. Man kann immer wieder 2 einsetzen und sehen, dass es die Lösung ist aber einen Rechenweg finde ich nicht.

Ich hoffe ihr findet einen Weg

Answer 1

Setze \(\alpha=\log_2(x)=\log_3(x+1)\), d.h.

\(2^{\alpha}=x\) und \(3^{\alpha}=x+1=2^{\alpha}+1\).

Wir suchen also nach einer Nullstelle von \(f(\alpha)=3^{\alpha}-2^{\alpha}-1\).

~plot~ 3^x-2^x-1 ~plot~

Also \(\alpha=1\) und somit \(x=2\).

Comments

Perfekt! Kann man jetzt noch beweisen dass Alpha gleich 1 ist? Man sieht dass das stimmt aber jo...

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Man müsste zeigen, dass \(\alpha=1\) die einzige

Lösung ist. Dass es eine Lösung ist, erkennt man ja durch

Einsetzen: \(3^1-2^1-1=0\)

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Weißt du denn wie man das zeigt? Ich weiß es nicht

Answer 2

Versuche es zunächst mal mit den Logarithmengesetzen, indem Du die Basis umrechnest und anschliessend mit der Potenzfunktion weiter machst.

$$ \log_{b}{x}=\frac{log_{a}{x}}{log_{a}{b}} $$