Logarithmische Gleichung lösen: log2(x) = log3(x+1)

Question

Aufgabe:

log2(x) = log3(x+1) lösen

Problem/Ansatz:

Hallo, ich kenne die Antwort dieser Gleichung (x=2) aber bekomme sie nicht mit einem Rechenweg gelöst. Man kann immer wieder 2 einsetzen und sehen, dass es die Lösung ist aber einen Rechenweg finde ich nicht.

Ich hoffe ihr findet einen Weg

Answer 1

Setze $\alpha=\log_2(x)=\log_3(x+1)$, d.h.

$2^{\alpha}=x$ und $3^{\alpha}=x+1=2^{\alpha}+1$.

Wir suchen also nach einer Nullstelle von $f(\alpha)=3^{\alpha}-2^{\alpha}-1$.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 3^x-2^x-1

Also $\alpha=1$ und somit $x=2$.

Comments

Perfekt! Kann man jetzt noch beweisen dass Alpha gleich 1 ist? Man sieht dass das stimmt aber jo...

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Man müsste zeigen, dass $\alpha=1$ die einzige

Lösung ist. Dass es eine Lösung ist, erkennt man ja durch

Einsetzen: $3^1-2^1-1=0$

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Weißt du denn wie man das zeigt? Ich weiß es nicht

Answer 2

Versuche es zunächst mal mit den Logarithmengesetzen, indem Du die Basis umrechnest und anschliessend mit der Potenzfunktion weiter machst.

$$\log_{b}{x}=\frac{log_{a}{x}}{log_{a}{b}}$$