Wie ist der Name dieser Ableitungsregel bzw. existiert sie überhaupt?

Question

Ich habe diese Regel in einem Forum gefunden und fand sie außergewöhnlich praktisch, ich würde sie gerne in meiner Klausur verwenden jedoch kenne ich weder den Namen der Regel noch irgendeinen existierenden Beweis dafür:

Kommt \( x \) mehrfach in \( f(x) \) vor \( \left(z . B . f(x)=x^x\right) \), so behandle zunächst nur das erste \( x \) als abzuleitende Variable und den Rest als konstant:
\( x^x \cdots x^{*} x^{x-1}\left(\right. \) so leitet \( \left.\operatorname{man} x^n a b\right) \)

Anschlließend machst du das gleiche mit dem anderen \( \mathrm{x} \)

\( x^x \cdots \ln (x)^{*} x^\times\left(50\right. \) leitet \( \left.\operatorname{man} a^x a b\right) \)

Zum Schluss muss man nur noch addieren:

\( x^{*} x^{x-1}+\ln (x)^{*} x^x=x^x+\ln (x)^{*} x^x=x^x(\ln (x)+1) \)

Fertig."

In Kurzform sagt diese Regel:

"Falls \( f(x)=g(x, x) \), so gilt: \( f^{\prime}(x)=g 1(x, x)+g 2(x, x) \), wobei gi die \( i \)-te partielle Ableitung von \( g \) ist."

Allgemein:

\( f(x)=g(x, x, \ldots, x)==>f^{\prime}(x)=g 1(x, \ldots, x)+\ldots+g n(x, \ldots, x) \)

Mit dieser Regel kann man auch gemeine Funktion ableiten wie z.B.

\( f(x)=\ln \) tegral \( (0 \) bis \( x) \) von \( t^{\left(x^2\right)} d t \)

Hier kommt \( x \) im Integranden UND in den Integralgrenzen vor.

Da sie in unserer Vorlesung nicht behandelt wurde, müsste ich in der Klausur einen Beweis für sie aufschreiben und diesen suche ich nun. In die Klausur dürfen wir 2 Din A4 Blätter mit reinnehmen, deswegen würde ich den Beweis einfach auf das Blatt schreiben, die Regel in der Klausur dann beweisen und mehrfach anwenden, bei einer entsprechenden Aufgabe.

Comments

Man x^x als e^{lnx^x} = e^{x*lnx} schreiben. Damit lässt sich leichter ableiten.

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Danke, dass weiß ich bereits aber gerade bei komplizierteren Aufgaben wäre diese Regel einfach wunderbar praktisch und würde sehr viel schneller funktionieren.

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Ich finde diese Frage wirklich außerordentlich Interessant. Auch ich perönlich kenne diese Regel nicht, aber vielleicht wäre die am besten mit der Totalen Differenzial zu erklären.

Du hast die Funktion
f(x) = x^x
Durch Substitution y = x könnten wir auch schreiben

f(x, y) = x^y
Mit den Partiellen Ableitungen bestimmt man die Änderung wenn du nur eine Unbekannte änderst

fx'(x, y) = y·x^{y - 1}

fy'(x, y) = x^y·LN(x)

Das Totale Differenzial bestimmt nun näherungsweise die Änderung die Auftritt, wenn man alle Unbekannten gleichzeitig ändert.

df(x, y) = y·x^{y - 1} + x^y·LN(x) = x^{y - 1}·(x·LN(x) + y)

Substituieren wir jetzt wieder zurück

df(x) = x^{x - 1}·(x·LN(x) + x) = x^x·(LN(x) + 1)

Das ist nun auch die Ableitung direkt nach x

f'(x) = x^x·(LN(x) + 1)


Das zumindest meine Idee zu dem Thema. Ich finde das aber extrem spannend und würde gerne wissen was andere davon halten.

Answer 1

Es wird immer davon gesprochen, Funktionen abzuleiten, diese aber werden oft durch Gleichungen beschrieben und beim Ableiten beschäftigt man sich dann eben mit den Funktionsgleichungen. Diese müssen aber nicht unbedingt nach y aufgelöst vorliegen; oft ist das auch gar nicht möglich. Eine solche Funktionsvorschrift nennt man dann auch implizit, die entsprechende Funktion auch und das dazu passende Vorgehen beim Ableiten implizite Differentiation:

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation