Integrieren von f(x)=cos(4x+(π/2)) per Substitution

Question

Ich möchte die Funktion f(x)=cos(4x+(pi/2)) integrieren und dafür natürlich die Substitution verwenden. Wenn ich die Anwendung richtig verstanden habe, müsste ich nun doch folgendes machen:

4x+(pi/2) mit u substituieren und damit müsste durch du/dx = 4+(pi/2x) <=> dx=du/(4+(pi/2x)) gelten

Wie muss ich nun vorgehen, ich multipliziere in dem Fall noch mit einer Variable? Ich rechne hier mal nach Schema F weiter, welches mir jedoch intuitiv unsinnig erscheint:

Integral von cos(u) = sin(u)

F(x)=(4+(pi/2x)) * sin(4x+(pi/2)) und das ist leider falsch

Auch würde es mich freuen wenn mir jemand erklären könnte wie hier das Integrieren mit zwei Grenzen ablaufen würde, da diese bei der Substitution ja mit einer Variable mal genommen werden würde, was ich wieder unsinnig finden würde. Wo ist also der Fehler und könnte mir jemand die beiden Aufgaben noch einmal sauber aufschreiben, zum nachvollziehen?

Danke für die Hilfe :)

Answer 1

Wenn du 4x+(pi/2) substituierst, hast du am Ende

 

dx = (1/4)*dz

Du hast also falsch differenziert. Das ist dein einziger Fehler.

 

Wenn du es damit probierst, bin ich mir sicher, dass du es schaffst.

1/4 vor das Integral schreiben und cos(u) integrieren.

 

Grund: Wenn man u differenziert, fällt pi/2 weg (Konstante) und 4x differenziert ergibt 4 und dann halt noch den Kehrwert nehmen und mit dz multiplizieren.

Comments

Oh Mann, super jetzt hab ich das Verfahren auch vernünftig verstanden, trotz der kurzen Antwort aber hey so muss es sein :D

Danke :)

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Kein Problem, ich musste es dieses Jahr auch noch lernen und die Klausur steht bei mir noch bevor. Wenn man es nicht vernünftig erklären kann, dann hat man es nicht verstanden.

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Achja, weil du mit der Variable u arbeitest, heisst es natürlich

 

dx = (1/4)*du

Answer 2

Eigentlich brauchst du da keine Substitution verwenden

f(x) = COS(4·x + pi/2)

Was passiert wenn man das Ableitet. Eigentlich kommt dank Kettenregel nur die innere Ableitung als Faktor dazu.

Äußere Ableitung mal innere Ableitung

Das ist allerdings eine Konstante. Daher fällt die beim Integrieren einfach nur weg.

F(x) = 1/4·SIN(4·x + pi/2)

Das war es dann auch schon.

Hast du also als innere Ableitung einen konstanten Faktor kannst du aufleiten über

Äußere Aufleitung durch innere Ableitung :)

Eventuell könntest du aber SIN(4·x + pi/2) zuerst auch vereinfachen zu COS(4·x). Das musst du aber nicht.

Comments

Das was du beschrieben hast, nennt man bei uns "lineare Substitution"

 

∫f(ax+b)dx = (1/a)*F(ax+b) + C