Grenzwert lim (√(1+4x)-2x-1)/(4x^2) mit x->0+ berechnen mit L'Hospital

Question

Ich möchte den folgenden Grenzwert mit l'hospital berechnen:

lim    (√(1+4x)-2x-1)/(4x^2)

x→0+

Das Ergebnis kenne ich und ist -1/2, allerdings weiß ich nicht, wie ich dahin komme.

Answer 1

(√(1+4x)-2x-1)/(4x²)

Die Wurzel als Potenz schrieben: √(1+4x) = (1+4x)^1/2

Nun Zähler und Nenner jeweils nach x ableiten (Achtung : Kettenregel:

Zähler: (√(1+4x)-2x-1)'  = (1/2)*(1+4x)^-1/2*4 -2 = 2*(1+4x)^-1/2 -2

Nenner: (4x²)' = 8x

Da im Nenner immer noch x steht nochmals ableiten:

Zähler: (2*(1+4x)^-1/2 -2)' = -(1/2)*2*(1+4x)^-3/2 *4 = -(4)*(1+4x)^-3/2 

Nenner: 8

Zähler/Nenner = -(1/2)*(1+4x)^-3/2 

Wenn jetzt x -> 0 geht, dann erhalten wir als Grenzwert -(1/2)

Comments

Hatte mich schon bei der Kettenregel verrechnet und dann konnte der Rest ja nur noch falsch werden. Jetzt habe ich die Aufgabe verstanden.