Bestimmem Sie das Marktgleichgewicht. pN(x)=15e^{-0,5x}+3 bei pA(x)=2x+5-e^{0,01x²+1}

Question

Für ein bestimmtes Gut gilt die Nachfragefunktion p_N(x)=15e^-0,5x + 3

sowie die Angebotsfunktion p_A(x)=2x+5 - e^0,01x²+1.

 

Anmerkung: Der allgemeine Ansatz um das Marktgleichgewicht M_G auszurechnen ist p_N(x)=p_A(x) gleichzusetzen, jedoch beginnen bei mir dort die Probleme. Hilfe wäre super! Mit dem GTR habe ich ein Ergebnis raus, aber algebraisch nicht.

Comments

Der allgemeine Ansatz um das Marktgleichgewicht M_G auszurechnen ist p_N(x)=p_A(x) gleichzusetzen, jedoch beginnen bei mir dort die Probleme. Hilfe wäre super! Mit dem GTR habe ich ein Ergebnis raus, aber Algebraisch nicht.

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Vermutlich kann man diese Gleichung gar nicht nach x auflösen. In dem Fall müsste man ein numerisches Verfahren anwenden. Da kannst du dem graphischen Taschnerechner eine Schätzung für den Startwert entnehmen.

Welche Verfahren kennst du denn? Sollst du eventuell das Newtonverfahren anwenden?

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Das Newtonverfahren kenne ich nicht. Wir hatten eine ähnliche Aufgabe wie die oben, p_N(x)=8e^-0,5x und p_A(x)=0,5e^0,5x, bei dieser Aufgabe habe ich soweit umgeformt und gerechnet bis ich ln ziehen konnte und damit e wegfällt um nach x aufzulösen. Doch bei der oberen Aufgabe weiß ich nicht wie ich die +3 bei der p_N(x) und 2x+5 bei der p_A(x) behandeln soll.

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Ja genau dort liegt das Problem. Das geht hier algebraisch gar nicht.

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Eigentlich könnte man auch den Logarithmus anwenden. Bei beiden e-Funktionen einfach den Logarithmus vorne hinschreiben, dann heben sich die beide e auf und man kann alles normal berechnen. Nur die Sache mit den x ist etwas knifflig. Wir haben dann insgesamt zwei x und einmal x². Da müssten wir halt soweit umformen, bis wir nurmehr ein x haben.

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Was bekommst denn du für ein Ergebnis heraus? Also mit dem GTR?

Answer 1

@StatMath Wenn WolframAlpha keine formale, sondern nur eine numerische Lösung berechnen kann, muss man nicht versuchen die Gleichung algebraisch nach x aufzulösen. Dein Vorschlag mit dem Logarithmus bringt nichts schon wegen den Summanden 2x +5 von denen du ja auch den Logarithmus nehmen müsstest.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=15e%5E%28-0.5x%29%2B3+%3D2x%2B5-e%5E%280.01x%5E2%2B1%29

Resultat von WolphramAlpha x1= 2.54807 und x2= 15.8698

@Anonym: Ok. Du kennst offenbar das Newtonverfahren nicht. Nun kannst du entweder unter diesem Stichwort mal suchen und etwas Neues lernen oder ein anderes Verfahren benutzen. Z.B. Intervallschachtelung oder Bisektionsverfahren. Gib doch oben im Kommentar zur Frage noch an, was du möglicherweise kennst.