Differenzierbarkeit und wohldefiniert auf I=[-1,1] natürlicher Logarithmus

Question

\( f(x)=\ln \left(x^{2}-2|x|+2\right) \)

Gefragt ist die Differenzierbarkeit im Intervall \( I=[-1,1] \) und ob die Funktion wohldefiniert ist in diesem Intervall.

Jetzt schreibe ich die Funktion einmal für \( x>0 \) und \( x<0 \)

\( f(x)=\ln \left(x^{2}-2 x+2\right) \) für \( x>0 \)

\( f(x)=\ln \left(x^{2}+2 x+2\right) \) für \( x<0 \)

Jetzt suche ich einmal den Grenzwert von links(-) und einmal von rechts (+)

\( \lim \limits_{h->>^{+}} \frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim \limits_{h->>^{+}} \frac{\ln \left(h^{2}-2 h+2\right)-\ln (2)}{h}=\ldots \ldots \)

Komme ab hier nicht weiter.

In der Musterlösung steht dass diese Funktion in \( x=0 \) nicht differenzierbar ist. Und ich versteht nicht, was wohldefiniert bedeutet.

Answer 1

Ich denke die Frage geht hier in Richtung Definitionsbereich. Ob die Funktion auf dem gesamten Intervall Definiert ist. Der Ausdruck unter dem LN muss dafür ja immer positiv sein.

Also für x >= 0 hast du f(x) = LN(x^2 - 2·x + 2)

x^2 - 2·x + 2 > 0

Das ist immer erfüllt. Nullstellen findet man keine.

 

Für x < 0 hast du f(x) = LN(x^2 + 2·x + 2)

x^2 + 2·x + 2 > 0

Auch das ist immer erfüllt. 

 

Daher wäre die Funktion Im gesamten Intervall definiert.

Ist sie jetzt auf dem gesamten Gebiet auch differenzierbar? 

Nun Du hast denke ich eine Achsensymmetrische Funktion. Die einzige Stelle die nicht differenzierbar ist könnte durch den Betrag an der Stelle 0 aufkommen. Daher schaust du dir an was Grenzwert der Ableitung für x = 0+ ist.

Also für x >= 0 hast du f(x) = LN(x^2 - 2·x + 2)

f'(x) = (2·x - 2)/(x^2 - 2·x + 2)
f'(0) = (2·0 - 2)/(0^2 - 2·0 + 2) = -1

Durch die Achsensymmetrie ergibt sich für die Steigung für x = 0- ein Wert von 1. Damit wäre die Funktion an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

Comments

Verstehe es jetzt und mir ist klar wie man drauf kommt.

Hab jetzt in der Musterlösung nachgeschaut und da wird angedeutet dass man die Differenzierbarkeit mit Differenzialquotienten und der HOPITALschen Regel lösen soll.

Wäre das nicht einfacher?

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Ich habe die Ableitungsregeln hier insbesondere die Kettenregel verwendet. Das langt wenn nicht explizit die Herleitung über den Differenzialquotienten verlangt ist und die Ableitungsregeln bekannt sind.

Answer 2

  f ( x ) = ln ( x^2 - 2 * | x |   + 2 )

  Der Funktionswert  ist für den gleichen positiven oder negativen x Wert
derselbe. Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

  1.Ableitung ( für x > 0 )
  f ´( x ) = ( 2 * x  - 2 ) / ( x^2 - 2 * x    + 2 )
  1.Ableitung ( für x < 0 )
  f ´( x ) = ( 2 * x  + 2 ) / ( x^2 + 2 * x    + 2 )

  Der Nenner kann in beiden Fällen nicht 0 werden. Es gibt keine Polstelle.

  Die Steigung hat für dengleichen positiven oder negativen x Wert
denselben Betrag, ist aber im Vorzeichen unterschieden.

  Wäre die Funktion bei x = 0 diffbar müßte gelten
  f ´( x ) = 0
  Ebenso der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert der Steigung müßte 0 sein.

  x > 0 ( rechtsseitig )
  lim x -> 0 +   [  f ´( x ) = ( 2 * x  - 2 ) / ( x^2 - 2 * x    + 2 ) ]
- 2 /  2
  -1 ( also ungleich 0 )
  Zur Sicherheit der linksseitige Grenzwert der Steigung
  x < 0
  f ( x ) = ln ( x^2 + 2 * x  + 2 )
  f ´( x ) = ( 2 * x  + 2 ) / ( x^2 + 2 * x    + 2 )
  lim x -> 0-     ( 2 * 0  + 2 ) / ( 0^2 + 2 * 0    + 2 )
  1

  Wie schon vorher vermutet ist die Steigung spiegelbildlich
und nicht gleich.

  Die Funktion ist für x = 0 nicht diffbar.

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

Answer 3

Nach Fallunterscheidung kann x > 0 oder x < 0 sein !

für x < 0 habe ich  2x - 2/ x² - 2x+2 !!

Comments

mathe 12: Bitte jeweils angeben wie du zu diesem Term kommst. Und (wegen Punkt- vor Strichrechnung und dass man da nicht noch rückfragen muss) immer Klammern um Zähler und um Nenner setzen.

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für x < 0 habe ich  2x - 2/ x² - 2x+2 !!

besser mit Klammerung

für x < 0 habe ich  ( 2x - 2 ) / ( x² - 2x+2 ) !!

Nachtrag : und das dürfte auch nicht stimmen
Das gilt für x > 0.

 

mfg Georg