Aloha :)
Die Funktion \(f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\) ist partiell differenzierbar:
$$\operatorname{grad}f(x;y)=\left(\begin{array}{c}\frac{-e^{-x}}{e^{-x}+e^{2y}}\\[1ex]\frac{2e^{2y}}{e^{-x}+e^{2y}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{-1}{1+e^{x+2y}}\\[1ex]\frac{2e^{x+2y}}{1+e^{x+2y}}\end{array}\right)$$
Die Grundrechenarten sind stetig, d.h. Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen sind wieder stetig, sofern beim Quotienten nicht durch \(0\) dividiert wird. Da die Exponentialfunktion stetig ist, sind damit beide partiellen Ableitungen stetig.
Jede stetig partiell differenzierbare Funktion ist auch total differenzierbar.
