Totale Differenzierbarkeit zeigen?

Question

Hallo, wie kann ich die totale Differenzierbarkeit von f: ℝ² →ℝ mit f(x,y)=ln(e^-x +e^2y)  zeigen?

Danke schon mal für die Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion $f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$ ist partiell differenzierbar:

$$\operatorname{grad}f(x;y)=\left(\begin{array}{c}\frac{-e^{-x}}{e^{-x}+e^{2y}}\\[1ex]\frac{2e^{2y}}{e^{-x}+e^{2y}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{-1}{1+e^{x+2y}}\\[1ex]\frac{2e^{x+2y}}{1+e^{x+2y}}\end{array}\right)$$

Die Grundrechenarten sind stetig, d.h. Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen sind wieder stetig, sofern beim Quotienten nicht durch $0$ dividiert wird. Da die Exponentialfunktion stetig ist, sind damit beide partiellen Ableitungen stetig.

Jede stetig partiell differenzierbare Funktion ist auch total differenzierbar.

Answer 2

Bilde beide partiellen Ableitungen:

f_x = -1 / (exp(x+2y) + 1 )  und f_y =  2*exp(2y+x) / (exp(x+2y) + 1 )

Die sind beide stetig auf ihrem ganzen Def.bereich, also

ist f überall total differenzierbar.

Comments

Hallo, erstmal vielen Dank dafür. Aber wie zeige ich dass die stetig sind?