Ich löse nicht jeden Tag Differentialgleichungen und kann dir eigentlich nur 2) und 3) beantworten
1) Ich habe eine DGL y' + e^y = 1. Man soll sie mit der Substitution z = e^{-y} lösen. Da meine erste Frage: Warum ist z = e^{-y} und nicht e^y?
Ich hab keine Ahnung, wie man genau auf diesen Ansatz kommt.
Betrachte y' + e^y = 1. Die Summe ist immer 1. y' muss kleiner werden, wenn e^y grösser wird. Ein minus im Exponenten scheint irgendwie logischer.
Zudem ist ja ln… die Umkehrung von e^… D.h. e^ln… und e^ln… lässt sich ideal vereinfachen.
2) z = e^{-y} bzw. y = -ln(z) soll nun abgeleitet werden. Dabei kommt laut Aufgabenbeschreibung y' = - (z'/z) raus. Das verstehe ich nicht. Ich dachte ln(x)' = 1/x?
z ist hier eine innere Funktion. nach Kettenregel
ln(z) ' = 1/z * z'
"3) Später soll durch Separation gelöst werden. Wie kommt das - vor das linke Integral?"
Ich schreibe mal ein paar Zwischenschritte rein:
z'/(1-z) = 1 | ∫
dz/dx * 1/(1-z) = 1
dz/dx *( -1)* 1 /( z-1) = 1 |*dx
(-1) * 1/(z-1) dz = dx
Jetzt links und rechts Integralzeichen ergänzen. Den konstanten Faktor (-1) kannst du vor das Integral schreiben als Minuszeichen
-∫1/(z-1) dz = ∫dx
