Eigentlich sollte man schon wissen, was (injektiv, surjektiv und) bijektiv ist, wenn man die Umkehrfunktion von y = x^2 kennenlernt.
Also die Funktion y = √x. Oder irgendeine andere Umkehrfunktion.
Da muss man zuerst wissen, dass Funktionen Zuordnungen sind, die jedem Element der Definitionsmenge genau ein Element des Wertebereichs zuordnen.
Wenn alle Elemente des Wertebereichs wirklich angenommen werden, nennt man die Funktion surjektiv.
Das ist der Fall für f: R -> R+o , x ↦ x^2. o soll heissen: die 0 ist dabei.
Surjektivität ist eine Voraussetzung für Umkehrbarkeit. Aber eine Umkehrfunktion gibt es nur, wenn die Funktion zusätzlich noch injektiv ist. D.h., wenn kein Element des Wertebereichs mehrfach vorkommt.
Da (-1)^2 = 1^2 ist f nicht injektiv.
Man beschränkt daher den Definitionsbereich so weit, bis die Funktion injektiv ist, bevor man sie umkehrt.
Aus dem f von eben macht man ein g, das nur folgendermassen definiert ist.
g: R+o -> R+o , x ↦ x^2.
Die Umkehrfunktion ist nun
g^{-1}: R+o -> R+o , x ↦ √x.
bijektiv bedeutet, dass eine Abbildung surjektiv und injektiv ist.
In der Schule (Gymnasium) bespricht man bei den Umkehrfunktionen die Einschränkungen des Definitionsbereichs, die nötig sind für die Definition der Umkehrfunktion. Es ist aber eher selten, dass da die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv schon eingeführt werden.
