Drehachse und Drehwinkel von 1/2·[1, - √2, 1; √2, 0, - √2; 1, √2, 1]

Question

ich hatte eine Matrix gegeben und habe das charakteristische  Polynom herausgefunden für einen geeigneten Drehachse, soll cih den Eigenvektor bestimmen, davor den Eigenwert. Hier bin ich jetzt.

char. Polynom: -k^3+k^2-2k+1

Um die Eigenwerte zu bestimmen muss das Polynom umformen. Wie mache ich das jetzt genau?
Ich vermute sehr stark das einer der Eigenwerte 1 ist aber cih weiß nicht wie ich das hinschreiben soll

Bitte um Hilfe

Comments

Hast du schon gezeigt, dass deine Matrix M eine Drehmatrix ist?

Dann ist zwingend ein Eigenwert 1. Da alle Punkte auf einer Drehachse Fixpunkte sind.

Die Drehachse bekommst du indem du einen zugehörigen Eigenvektor bestimmst.

Also eine Lösung v Gleichung M*v = v bestimmst.

Kommt auf dasselbe raus, wie wenn du das LGS

Mv = Ev

Mv - Ev = 0

(M-E) v = 0

betrachtest.

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übrigens

p(k) = -k³+k²-2k+1

hat leider keine Nullstelle bei k=1.

Grund p(1) = -1 + 1 -2 +1 = -1.

D.h. es ist nicht das char. Polynom einer Drehmatrix.

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Vielleicht poste ich erstmal die Matrix:

            (1     -wurzel 2        1     )

A=1/2  (wurzel 2  0  -wurzel2)

            (1            wurzel2     1)

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Wenn dein Polynom stimmt, ist 1 kein Eigenwert deiner Matrix. 

D.h. die Matrix ist keine Drehmatrix. Du musst aber das char. Polynom gar nicht ausrechnen. Versuche gleich 

(M-E) v = 0

zu lösen.

Wenn du ein v ≠ 0 findest, war einfach dein Polynom falsch. Aber du hast dann die Richtung der Achse. EDIT: Kommt zwingend v=0 raus, ist die Matrix keine Drehmatrix.

Frage: Bist du gerade noch mit einer jb... -Identität unterwegs? Oder brauchst du die andere Aufgabe auch?

Schau bitte mal hier: https://www.mathelounge.de/134114/orthogonalitat-drehmatrix-drehachse-drehwinkel-berechnen

EDIT: Meinte eigentlich hier: https://www.mathelounge.de/139005/orthogonale-matrix-eine-drehmatrix-wenn-drehachse-winkel?show=139065#c139065

Aber bitte immer auch noch selbst nachrechnen / korrigieren. 

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Nein ich bin nicht der jb-.... ich habe aber einer seiner Aufgaben kommentiert oder besser gesagt genau diese. Ich werde mir das mal anschauen, bin momentan selber unter Zeitdruck und noch mit anderen Aufgaben beschäftigt, die ich auch gepostet habe und versuche die  noch zu verstehen^^


Trotzdem danke das du dir Zeit dafür genommen hast alles zu kommentieren.

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Bitte. Gern geschehen!

Beim Link, den ich aus Versehen angegeben habe, rechnet ja Mathecoach zum Schluss alles ganz schön vor. Das solltest du auf jeden Fall lesen, wenn du nicht weiterkommst.

Answer 1

Um die Eigenwerte zu bestimmen setzt di eifach das char. Polynom gleich 0

-k³ + k² - 2k + 1 = 0

k = 0.2150798545 - 1.307141278·i ∨ k = 0.2150798545 + 1.307141278·i ∨ k = 0.5698402909

Da 1 hier kein Eigenwert ist kann es keine Drehmatrix sein. 

Wäre vielleicht ganz gut wenn du uns die Matrix geben würdest.

Comments

Ok deine Matrix war

M = [1/2, - √2/2, 1/2; √2/2, 0, - √2/2; 1/2, √2/2, 1/2]

Wir bestimmen mal die Eigenwerte

DET([1/2 - k, - √2/2, 1/2; √2/2, 0 - k, - √2/2; 1/2, √2/2, 1/2 - k]) = 0
- k^3 + k^2 - k + 1 = 0
k = -i ∨ k = i ∨ k = 1

Kannst du von da alleine weitermachen ? Wenn etwas unklar ist dann frag nach.

Answer 2

Drehmatrix , denn  Q^t Q = 1/4 ( 4 0 0   I0 4 0   I   0 0 4 ) = E → Q⁺    !

det Q = det 1/2  (  1   √ 2    1   I    ...........   )  = +1

1/2  ( Q -  E   )    u1  u2  u3  = (0   0  0  ) = u = 1/ √ 2 (  1   0   1  )

cos φ  =  1/2 (Spur  Q - 1)  =  1/2 ( 1 - 1 )  =  0

sin φ = ( - 1/√ 2      0      1/√ 2   )  = 1  ,  also φ  =  π /2 !!

Comments

1. Könntest du diese Zeile noch kommentieren?

1/2  ( Q -  E   )    u1  u2  u3  = (0   0  0  ) = u = 1/ √ 2 (  1   0   1  )

Da meinst du doch

1/2  ( Q -  E   )   ( u1  u2  u3)  = (0   0  0  ) ==>  u = 1/ √ 2 (  1   0   1  )

mit u =(u1  u2  u3)     Oder? 

Die Richtung der Drehachse ist ein Fixvektor, d.h. ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. 

2. Warum darfst du 1/2 als Faktor vor der (Q-E) lassen?

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1/2 ( Q - E ) → 1/2 (  Ausgangsmatrix , siehe oben ) ! Drehachse bestimmt als Eigenvektor u zum Eigenwert λ = 1  , das ist  1/ √ 2  (  1    0     1)   .

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Mein 2. Punkt ist mir leider noch nicht klar.

Warum nicht 1/2(Q -2E) = (1/2 Q) - E ...?

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Was bedeutet oder wie berechnet man
(Spur Q - 1 ) ??