Lineare Algebra. Zeige, dass C: G ----> G mit C(g)= a*g*a^{-1} ein Automorphismus ist.

Question

ich habe eine Aufgabe zu beweisen, und zwar geht es darum, dass ich beweisen soll, dass eine Abbildung ein Automorphismus ist. Hier ist die Aufgabe:

Sei (G, *) eine Gruppe (mit * ist die Multiplikation gemeint). Sei a€G. Zeigen Sie, dass die Abbildung

C: G → G   mit C(g)= a*g*a^{-1}

ein Automorphismus ist.

Meine Lösung: Ich hab zu beweisen, dass die Abbildung C bijektiv ist.

1.Lösungsweg: Mithilfe des Umkehrbarkeitskriteriums (das hab ich gemacht)

2.Lösungsweg: Injektivität + Surjektivität

1) Die Injektivität der Abbildung hab ich bewiesen.

2) Ich Weiß nicht, wie ich die Surjektivität beweisen kann. Ich muss ja irgenwie auf C(g)=g                                      kommen, aber es klappt nicht. Wenn die Gruppe kommutativ wäre, wäre es einfach, aber                                    es gibt keine Informationen über die Kommutativität der Abbildung.

Hätte jemand vielleicht eine Idee, wie ich es beweisen könnte? Wäre euch sehr dankbar!

Liebe Grüße

Answer 1

Zitat: Ich muss ja irgendwie auf C(g)=g kommen.

Hi, Nicht ganz, Du musst C(G) = G zeigen. Nimm dazu ein beliebiges g aus G und bastle Dir dazu passend ein b aus G so, dass C(b) = g ist. Das ist etwa eine halbe Zeile und nicht schwierig.

Comments

Ich sehe jetzt, dass ich die Bedingung falsch formuliert hab. Danke für deinen Hinweis :)

Könnte ich dann die Surjektivität so beweisen:

Sei g €G (G ist der Wertebereich hier) beliebig.

Wähle o.B.d.A. ein b€G (G ist der Definitionsbereich hier) mit b:=a^{-1}*g*a.

Dann gilt C(b) = a*[a^{-1}*g*a]*a^{-1} = [a*a^{-1}]*g*[a*a^{-1}] = e*g*e = g*e = g

Daraus folgt: C(G)=G

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Ja, so könnte man das beweisen. Schön!

Hier Deine Version etwas gekürzt:

Sei g ∈ G beliebig. Wähle a^{-1}*g*a ∈ G.

Dann gilt C(a^{-1}*g*a) = a*[a^{-1}*g*a]*a^{-1} = [a*a^{-1}]*g*[a*a^{-1}] = e*g*e = g.

Daraus folgt C(G) = G.

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Alles klar. Vielen lieben Dank :)