Zeige den Automorphismus

Question

Text erkannt:

Seien \( G \) eine beliebige Gruppe und \( h \in G \) beliebig. Zeigen Sie, dass die Abbildung \( \kappa_{h}: G \rightarrow G \) mit \( \kappa_{h}(g)=h^{-1} g h \) ein Automorphismus ist.

Aufgabe:

Answer 1

Sei h∈G. Zeige: \( \kappa_{h}\) ist bijektiv und ein Hommomorphismus.

1. injektiv: Seien  \( g_1 \text{ und } g_2  \text{ aus  G und }  \kappa_{h(g_1)}=\kappa_{h(g_2)}\)

Jetzt mit den Gruppenaxiomen und der Def. von Kappa zeigen, dass g₁ = g₂.
(Vielleicht müsst ihr es auch nicht ganz so ausführlich machen.)

Es ist :     \( h^{-1} g_1 h = h^{-1} g_2 h \)

Multiplikation von links mit h gibt    \( h (h^{-1} g_1 h) = h (h^{-1} g_2 h ) \)

Assoziativität           \( (h h^{-1} )g_1 h) = (h h^{-1}) g_2 h ) \)

Def. neutr. El      \(   e g_1 h) = e g_2 h \)  also \(  g_1 h) = g_2 h ) \).

Entsprechend mit h^-1 von rechts gibt letztlich   \(  g_1 = g_2  \).

Versuche mal surjektiv und hom selber. Kannst ja notfalls

noch mal nachfragen.