zu a) Musst ja nur zeigen:
Für die Abbildung p : G →G ; x → x^(-1) gilt:
p ist bijektiv und es gilt für alle a,b aus G p(ab)=p(b)p(a)
Injektiv: Seien a,b aus G mit p(a) = p(b)
==> a^(-1) = b^(-1) | *a (von rechts)
==> e = b^(-1) * a | *b (von links)
==> b = a . Also p Injektiv.
surjektiv: Sei a∈G. zu zeigen:
Es gibt ein b∈G mit p(b)=a.
Wähle b=a^(-1) dann gilt es.
Also p surjektiv.
zu p(ab)=p(b)p(a) betrachte
p(ab) = (ab)^-1 = b^(-1) * a^(-1) .
Falls ihr die letzte Umformung noch nicht allgemein
bewiesen habt, hole das nach:
(a*b)^-1 muss ja das Element sein, was bei der
Multiplikation mit a*b das neutrale El. e ergibt.
Und das ist so:
(a*b) * ( b^(-1) * a^(-1) ) assoziativ !
= a* ( b * b^(-1) ) * a^(-1)
= a* e * a^(-1)
= a * a^(-1)
= e
b) abelsch ==> A = Aut(G) ist wohl klar, weil dann p(b)*p(a)=p(a)*p(b).
ungekehrt: Es gelte A = Aut(G). Wegen a) ist also das dort
beschriebene p sowohl ein Anti-Automorphismus, als auch ein
Automorphismus, d.h. es gilt für alle a,b aus G
p(a*b) = p(a)*p(b) # (wegen Automorphismus ) und
p(a*b) = p(b)*p(a). ## (wegen Anti-Automorphismus )
Seien also a,b aus G . Dann sind auch a^(-1) und b^(-1) aus G
und es gilt wegen #
p ( a^(-1) * b^(-1) ) = p ( a^(-1) ) * p( b^(-1) )
(wegen Def. von p) = ( a^(-1) )^(-1) * ( b^(-1)^(-1) = a*b
Andererseits wegen ## aber auch p ( a^(-1) * b^(-1) ) =…=b*a.
Also für alle a,b aus G a*b=b*a ==> G abelsch.
Andererseits gilt allgemein (s. Nachtrag zu a) )
(a*b)^(-1) = b^(-1)*a^(-1)
Beides zusammen ergibt
a^(-1)*b^(-1) = b^(-1)*a^(-1) | * a von rechts
a^(-1)*b^(-1)*a = b^(-1) | * a von links
