Zu 1) ; a könnte auch Null sein. Dabei halte ich die Bestimmung der Nullstelle für äußerst Wichtig;
x0 ( a ) = - a ( 1 )
Die Schar wandert " immer weiter nach Links " aus.
Was er nicht sagt; du musst dir doch erst eine Grobskizze erstellen. Rein von der Asymptotik verebbt die Schar in
( x | y ) ( asym ) = ( + °° | + 0 ) ( 2a )
Und zwar gilt ( 2a ) ,weil die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Aus ( 1;2a ) ergibt sich aber zwingend folgender Verlauf:
x ( max ) < x ( w ) ( 2b )
Untersuchungen mittels höherer Ableitungen entfallen; erst wenn wir auf unerwartete stationäre Stellen treffen, machen wir uns diesbezüglich Gedanken.
Mein Standardspruch; bevor dass du auch nur eine Ableitung bildest, hast du die Grobskizze zu erstellen bzw. diese Asymptotik zu untersuchen.
Ableitungen bis einschließlich der 4 711. Ordnung werden übrigens direkt aus der Ausgangsfunktion gebildet ohne Zwischenschritte ( s.u. ) Dafür gibt es nämlich eine verallgemeinerte Produktregel ( VPR )
Zwecks Anwendung der Produktregel wird die Funktion wie folgt zerlegt:
c := exp ( a ) = const ( 3a )
u ( x ) := exp ( - x ) ( 3b )
v ( x ) := x + a ( 3c )
f ' ( x ) = c ( u ' v + u v ' ) = ( 4a )
= c [ - ( x + a ) + 1 ] exp ( - x ) ( 4b )
Ich verweise euch an Courant-Hilbert Bd. 2 Höhere Ableitungen werden analog der binomischen formel gebildet; so findest du für n = 2
( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v " = ( 5a )
= u " v + 2 u ' v ' ( 5b )
Und zwar ( 5b ) , weil wir bei v in ( 3c ) keine höhere als erste Ableitung berücksichtigen müssen. wie gesagt direkt aus ( 3a-c )
f " ( x ) = c ( x + a - 2 ) exp ( - x ) ( 6 )
Die 3. Ableitung schreibe ich jetzt mit ===> Binominalkoeffizienten, damit das Prinzip klar wird:
( u v ) (³) = ( 3 0 ) u (³) v + ( 3 1 ) u " v ' + ( 3 2 ) u ' v " + ( 3 3 ) u v (³) = ( 7a )
= u (³) v + 3 u " v ' + 3 u ' v " + u v (³) = ( 7b )
= u (³) v + 3 u " v ' ( 7c )
f (³)( x ) = c [ - ( x + a ) + 3 ] exp ( - x ) ( 8 )
Aus ( 4b )
x ( max ) ( a ) = 1 - a = x0 + 1 ( 9a )
y ( max ) = exp ( 2 a ) / e ( 9b )
In dem Maße, wie die Kurven nach Links auswandern, werden sie auch immer steiler.
x ( w ) = 2 - a = x0 + 2 ( 10a )
Vergleiche doch mal mit dem Maximum ( 9b ) ; die lineare Klammer kriegt zusätzlich einen Faktor 2; und im Nenner der e-funktion wird e durch e " ersetzt:
y ( w ) = ( 2 / e ) y ( max ) ( 10b )
Jetzt ist aber 2 < e
Nette Aufgabe.