Ableitungen der Funktionenschar f(x)=(x + a)·e^{a - x}

Question

Ich habe angefangen die Aufgabe zu lösen, aber komme nicht klar mit den Ableitungen in Teilaufgabe 2. Kann mir jemand bitte den Rechenweg aufzeigen mit den einzelnen Ableitungsteilschritten nach der Produktregel etc.

Gegeben sei die Kurvenschar \( f_a \) durch \( f_a(x) = (x + a)e^{a-x} \) mit x ∈ R und a > 0.

1. Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von \( f_a \) mit den Koordinatenachsen.

2. Bilden Sie die Ableitungsfunktionen \( f_a, f_a` \) und \( f_a` \)

3. Untersuchen Sie f auf Extrema, geben Sie die Lage und Art der Extrema von \( f_a \) an.

4. Geben Sie die Koordinaten der eventuellen Wendepunkte von \( f_a \) an.

Answer 1

2.

f(x) = (x + a)·e^{a - x}

Ableitung nach Produktregel und Kettenregel

f '(x) = 1·e^{a - x} + (x + a)·e^{a - x}·(-1) = e^{a - x}·(1 - x - a)

f ''(x) = -e^{a - x}·(1 - x - a) + e^{a - x}·(-1) = e^{a - x}·(-1 - 1 + x + a) = e^{a - x}·(x + a - 2)

f '''(x) = -e^{a - x}·(x + a - 2) + e^{a - x}·(1) = e^{a - x}·(1 - x - a + 2) = e^{a - x}·(3 - x - a)

Langt dir das so um weiter zu rechnen ?

Comments

Ich hab mal meinen Lösungsansatz gescannt:

Mir ist der Schritt nicht klar mit (-1). Wird das direkt ausgeklammert? Gibt es dafür eine korrekte Terminologie für diesen Schritt? Es ist ja anscheinend nötig um zwei mal e^{a - x} zu erhalten, welches man später wieder ausklammert um die nächste Ableitung zu bilden. Versteh ich das richtig?

 

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Ja der Faktor -1 ist hier sehr bedeutend. Er wird von dem e^{} getrennt, damit wir e^{} ausklammern können.

(x + a) * -e^{a-x} = (x + a) * -1 * e^{a-x} = (-x - a) * e^{a-x}

Answer 2

Zu 1) ; a könnte auch Null sein. Dabei halte ich die Bestimmung der Nullstelle für äußerst Wichtig;

x0 ( a ) = - a  ( 1 )

Die Schar wandert " immer weiter nach Links " aus.

Was er nicht sagt; du musst dir doch erst eine Grobskizze erstellen. Rein von der Asymptotik verebbt die Schar in

( x | y ) ( asym ) = ( + °° | + 0 )   ( 2a )

Und zwar gilt ( 2a ) ,weil die e-Funktion jedes Polynom unterdrückt. Aus ( 1;2a ) ergibt sich aber zwingend folgender Verlauf:

x ( max ) < x ( w )    ( 2b )

Untersuchungen mittels höherer Ableitungen entfallen; erst wenn wir auf unerwartete stationäre Stellen treffen, machen wir uns diesbezüglich Gedanken.

Mein Standardspruch; bevor dass du auch nur eine Ableitung bildest, hast du die Grobskizze zu erstellen bzw. diese Asymptotik zu untersuchen.

Ableitungen bis einschließlich der 4 711. Ordnung werden übrigens direkt aus der Ausgangsfunktion gebildet ohne Zwischenschritte ( s.u. ) Dafür gibt es nämlich eine verallgemeinerte Produktregel ( VPR )

Zwecks Anwendung der Produktregel wird die Funktion wie folgt zerlegt:

c := exp ( a ) = const      ( 3a )

u ( x ) := exp ( - x )  ( 3b )

v ( x ) := x + a  ( 3c )

f ' ( x ) = c ( u ' v + u v ' ) = ( 4a )

= c [ - ( x + a ) + 1 ] exp ( - x )   ( 4b )

Ich verweise euch an Courant-Hilbert Bd. 2 Höhere Ableitungen werden analog der binomischen formel gebildet; so findest du für n = 2

( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v "  = ( 5a )

= u " v + 2 u ' v '  ( 5b )

Und zwar ( 5b ) , weil wir bei v in ( 3c ) keine höhere als erste Ableitung berücksichtigen müssen. wie gesagt direkt aus ( 3a-c )

f " ( x ) = c ( x + a - 2 ) exp ( - x )   ( 6 )

Die 3. Ableitung schreibe ich jetzt mit ===> Binominalkoeffizienten, damit das Prinzip klar wird:

( u v ) (³) = ( 3 0 ) u (³) v + ( 3 1 ) u " v ' + ( 3 2 ) u ' v " + ( 3 3 ) u v (³)  =  ( 7a )

= u (³) v + 3 u " v ' + 3 u ' v " + u v (³)  =  ( 7b )

= u (³) v + 3 u " v '  ( 7c )

f (³)( x ) = c [ - ( x + a ) + 3 ] exp ( - x )   ( 8 )

Aus ( 4b )

x ( max ) ( a ) = 1 - a = x0 + 1   ( 9a )

y ( max ) = exp ( 2 a ) / e   ( 9b )

In dem Maße, wie die Kurven nach Links auswandern, werden sie auch immer steiler.

x ( w ) = 2 - a = x0 + 2   ( 10a )

Vergleiche doch mal mit dem Maximum ( 9b ) ; die lineare Klammer kriegt zusätzlich einen Faktor 2; und im Nenner  der e-funktion wird e durch e " ersetzt:

y ( w ) = ( 2 / e ) y ( max )   ( 10b )

Jetzt ist aber 2 < e 

Nette Aufgabe.