Finde Matrix X, sodass AX = B

Question

Frage zu einem Matrix-Problem:

Wir haben 3 Matrizen gegeben:

$$ A = \left( \begin{array} { c c c } { 3 } & { 5 } & { - 2 } \\ { - 4 } & { 6 } & { 7 } \\ { 1 } & { 2 } & { 0 } \end{array} \right) \quad B = \left( \begin{array} { c c c c } { 8 } & { - 5 } & { - 4 } & { - 1 } \\ { 49 } & { 32 } & { 61 } & { 40 } \\ { 7 } & { - 1 } & { 4 } & { 4 } \end{array} \right) \quad C = \left( \begin{array} { c c c } { 4 } & { 3 } & { 2 } \\ { 7 } & { 0 } & { - 3 } \\ { 8 } & { 6 } & { 4 } \end{array} \right) $$

Ich soll nun eine Matrix X finden, sodass AX=B.

Falls es unmöglich ist, soll ich erklären weshalb.

Answer 1

Aufgrund der Dimensionen müsste X eine 3*4- Matrix sein.

Du hast da 12 unbekannte Elemente. Wenn man Zeilen mit Spalten multipliziert und als Resultat B einsetzt, kommt man auf 12 Gleichungen. Im Normalfall ist das lösbar.

 

Eigentlich sollte es möglich sein, die Matrixgleichung nach X aufzulösen.

Kannst du die Inverse Matrix von A, also A^-1 berechnen? (Mir scheint A ist invertierbar)

Beim Auflösen müsste man von links mit A^-1 multiplizieren.

A^-1AX = A^-1B      |      da A^-1A =E   (Einheitsmatrix)

EX = X = A^-1B

Da A^-1 eine 3*3-Matrix ist, kommt eine 3*4 Matrix raus.

Probier das mal, mach aber am Schluss die Probe, indem du X in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.