Zerlegung von Summe in Produkt: (a^2+b^2)^3+(c^2-a^2)^3-(b^2+c^2)^3

Question

Wie kommt man von

(a^2+b^2)^3+(c^2-a^2)^3-(b^2+c^2)^3

Auf: 3*(a^2+b^2)*(a-c)*(a+c)*(b^2+c^2)

Comments

Kontrolliere erst einmal hiermit, ob die beiden Terme gleich sind.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28a%5E2%2Bb%5E2%29%5E3%2B%28c%5E2-a%5E2%29%5E3-%28b%5E2%2Bc%5E2%29%5E3

Nun noch den andern eingeben.

Und dann die 'alternate Forms' vergleichen.

Dann zum Weg: Klammern auflösen, vereinfachen, 3 ausklammern und weiterschauen.

Answer 1

Ich lasse nachher mal die Quadrate weg. Da kommt man problemlos zurück zu denen. A,B,C ≥ 0

(a²+b²)³+(c²-a²)³-(b²+c²)³

=(A+B)(A+B)^2 + (C^3 - 3AC^2 + 3A^2 C - A^3) - (B^3 + 3B^2 C + 3 BC^2 + C^3)

=(A+B)(A^2 + 2AB + B^2) +  C^3 - 3AC^2 + 3AC - A^3 - B^3 - 3B^2 C - 3 BC^2 - C^3

=(A+B)(A^2 + 2AB + B^2) +  3AC^2 + 3A^2 C - A^3 - B^3 - 3B^2 C - 3 BC^2 

= A^3 + 3A^2 B + 3AB^2 + B^3 +  3AC^2 + 3A^2 C - A^3 - B^3 - 3B^2 C - 3 BC^2 

=  3A^2 B + 3AB^2  +  3AC^2 + 3A^2 C - 3B^2 C - 3 BC^2 

=3(A^2 B + AB^2  +  AC^2 + A^2 C - B^2 C - BC^2 )

und nun musst du wohl einfach raten

=3(A+B)(A-C)(C+B)

Kontrolle mit: https://www.wolframalpha.com/input/?i=expand+%28A%2BB%29%28A-C%29%28C%2BB%29

Quadrate ergänzen und den mitteleren Binom noch faktorisieren.

Comments

Ich vermute allerdings, dass in der Schule so was nicht verlangt ist.

Vielleicht kannst du durch geschicktes Umformen von Anfang an so umformen (kürzen/ ausklammern...), dass du gar nie auf diese Summe kommst.