Anzahl Schnittpunkte der Funktionen p(x) = x²+4x +1 und g(x) = 2ax?

Question

Gegeben: p(x) = x²+4x +1 und g(x) =  2ax 

Aufgabe: Prüfe, für welche Werte von a die parabel p und die Gerade g sich schneiden.

Ich würde das jetzt gleichsetzten

x²+4x +1 = 2ax

a (x) = x² + 2ax + 4x + 1

kann mir jemand weiterhelfen ?

Answer 1

Hi, soweit ist der Ansatz richtig.

a(x) passt aber nicht. Du ziehst doch 2ax auf die andere Seite. Subtrahiere also:

a(x) = x^2 - 2ax + 4x + 1 = x^2 + x(4-2a) + 1 = 0

Nun wende die pq-Formel an. So löst Du ja normalerweise Nullstellenprobleme.

Es ist p = 4-2a und q = 1

x_1,2 = -(4-2a)/2 ± √( ((4-2a)/2)^2 - 1)

Beachte, dass es nur eine Lösung, also einen Schnittpunkt gibt, wenn die Wurzel einen Wert ausgibt. Das heißt genau genommen, wenn dieser nicht 0 ist (da andernfalls das ± nicht wirkt und man nur eine Lösung enthält, was gleichbedeutend mit einem Berührpunkt ist).

Schauen wir uns das an. Also wann das 0 wird.

((4-2a)/2)^2 - 1 = 0   |+1

((4-2a)/2)^2 = 1         |Wurzel ziehen

(4-2a)/2 = ±1              |*2

4-2a = ±2                    |-4

-2a = -4±2                   |:(-2)

a = 2±1

a₁ = 1

a₂ = 3

Das bedeutet für a = 1 bzw. für a = 3 haben wir einen Berührpunkt. Stellen wir nun noch fest, wann der Radikand positiv ist. Nur dann gibt es Schnittpunkte zwischen Parabel und Gerade.

Wähle a = 2 (Punktprobe) -> ((4-2*0)/2)^2 - 1 = -1 < 0

Also für alle Werte für a außerhalb des Intervalls von [1;3] gibt es zwei Schnittpunkte zwischen Gerade und Parabel.

Grüße

Comments

aaalter du bist verdammt schnell, Unknown :000 ^^

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Ist ja auch nicht mein erster Beitrag ;). Das übt sich^^.

Answer 2

Was machst du mit a(x)? Löse die Gleichung weiter auf:

x²+4x +1 = 2ax

x^2 + 4x -2ax + 1 = 0

x^2 + (4-2a)*x +1 = 0

P-Q Formel?

Gruss