Eigenwerte berechnen. Charakteristisches Polynom x^3 - 3x^2 + 4 = 0

Question

vielleicht kann mir einer von euch weiterhelfen.. Ich bin gerade dabei eine Quadrik in die Normalform zu bringen und hänge gerade bei den Eigenwerten fest. Als charakteristisches Polynom bekomme ich raus:

x^3 - 3x^2 + 4 = 0 

Wie löse ich diese Gleichung auf? Polynomdivision hab ich versucht, da komme ich aber auf einen Rest. In der Lösung meines Professors stehen die Eigenwerte -1, 2 und 2. 

 

Comments

Dann machst du anscheinend die Polynomdivision falsch. Die Nullstellen sind richtig, wie man durch einsetzen sieht.

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x1 = 2 

   (x^3 - 3x^2 + 0x + 4) : (x + 2) = x^2 - 5x + 10

- (x^3 + 2x^2) 

____________

           -5x^2 + 0x

        - (-5x^2 -10x)

     ______________

                       10x + 4 

                   - (10x + 20)

                  ____________

                               -16    ??? 

Wo ist mein Fehler? 

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Du musst durch (x-2) teilen, wenn 2 eine Nullstelle ist.

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Hi,

hast Du die Polynomdivision mit (x-1) durchgeführt? Das ist falsch. Du musst (x+1) verwenden. Denn wenn jetzt x = -1 eingesetzt wird, ist die Klammer 0 ;).

Ersetze -1 durch 2 in meiner Anmerkung. Das ist Dein Fehler.

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Super, ich hab das jetzt noch einmal versucht und es hat geklappt. ! 

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Wenn der erste Eigenwert x = 2 ist und ich durch die PQ Formel als zweiten und dritten x Wert 2 und -1 erhalte, muss ich dann ein Vorzeichen bei einer 2 ändern?? 

Answer 1

hast Du die Polynomdivision mit (x-1) durchgeführt? Das ist falsch. Du musst (x+1) verwenden. Denn wenn jetzt x = -1 eingesetzt wird, ist die Klammer 0 ;).

(x^3  - 3x^2        + 4) : (x + 1)  =  x^2 - 4x + 4 
-(x^3  +  x^2)          
 ————————
      - 4x^2        + 4
    -(- 4x^2  - 4x)    
      ———————
                4x  + 4
              -(4x  + 4)
                ————
                      0

Jetzt binomische Formel.

Grüße

Comments

Wenn der erste Eigenwert x = 2 ist und ich durch die PQ Formel als zweiten und dritten x Wert 2 und -1 erhalte, muss ich dann ein Vorzeichen bei einer 2 ändern?? 

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Nein. Das ist ja Dein Ergebnis. Wenn Du es aber als Linearfaktor schreiben willst dann (indirekt) schon.

Also

bei x = -1 muss der Linearfaktor als (x+1) geschrieben werden. Es ist ja

x = -1   |+1

x+1 = 0

Answer 2

      x³   -3x²   +4    :  (x-2)     = x²  -x  -2
     -x³   +2x²
    --------------
     0     -x²
            +x² - 2x
           -------------
             0     -2x  +4
                     2x   -4
                     --------
                             0