Kostenfunktion und Gewinnschwelle - Produzent von Küchenwaagen

Question

Aufgabenstellung:

Der Produzent von Küchenwaagen beliefert seine Großhändler zu einem Stückpreis von 36 €. Seine Kosten für die Produktion der ersten 150 Waagen berechnen sich nach der Funktion ; K1(x) = 0,1x² + 10x + 850 ; D(K1) = [0;150]. Ab der Menge 150 Stück arbeitet der Produzent mit einer linearen Kostenfunktion, die Kapazitätsgrenze liegt bei 240 Stück.

So zu Teil "a" , sollten wir den Term der gesamten Kostenfunktion bestimmen, die aus 2 Termen zusammengesetzt ist und an der Stelle 150 differenzierbar ist.

Diesen Teil habe ich erledigt und heraus bekommen das K1 (0,1x² + 10x + 850 für 0 < x < 150) & K2 (40x - 1400 für x > 150) ist.

Nun soll ich die Gewinnschwelle errechnen & die gewinnmaximale Produktionsmenge und den maximalen Gesamtgewinn. Hab den Anfang komplett vergessen wie ich die Gewinnschwelle errechen kann.

Thematik für Mathematik LK auf einem Wirtschaftsgymnasium

Comments

Bestimme die Schnittstellen der Kostenfunktion mit der Erlösfunktion. Die Erlösfunktion kannst Du über den Stückpreis ermitteln. Vermutlich wird es zwei oder drei Schnittstellen geben. Gibt es drei, wird eine vermutlich nicht im Definitionsbereich liegen, die lässt Du außen vor. Die kleinere der beiden (verbliebenen) Schnittstellen ist die Gewinnschwelle, die andere die Gewinngrenze.

Answer 1

Deine zusammengesetzte Kostenfunktion ist richtig.

K(x) = 0.1·x^2 + 10·x + 850 für 0 ≤ x ≤ 150

K(x) = 40·x - 1400 für 150 ≤ x ≤ 240

Denk beim zweiten Teil aber an die Kapazitätsgrenze

Die Erlösfunktion ist

E(x) = 36·x

Gewinnschwelle ist die Menge, bei der der Erlös das erste mal gleich den Kosten wird. bzw. wo der Gewinn erstmals null wird.

G(x) = E(x) - K(x) = 36·x - (0.1·x^2 + 10·x + 850) = - 0.1·x^2 + 26·x - 850 = 0

x = 38.34848610 und [x = 221.6515138]

Gewinnmaximum ist dort wo die Gewinnfunktion einen Hochpunkt hat.

G'(x) = 26 - 0.2·x = 0
x = 130

Bei 130 haben wir den maximalen Gewinn

G(130) = 840

Der maximale Gewinn beträgt 840 €.

Zeichne die auch mal die Kostenfunktion und die Erlösfunktion und auch die Gewinnfunktion in ein Koordinatensystem ein.