Normalform f(x)= -3x² + 6x - 3 in die allgemeine Scheitelpunktform?

Question

Wie rechne ich jetzt beispielsweise die Normalform y=f(x)=-3x²+6x-3 in die allgemeine Scheitelpunktform y=f(x)=a(x+d)²+e um???
Würde mich sehr über Antworten freuen!

Answer 1

Am besten, du machst das einfach mal mit Variablen, indem du statt -3x^2+6x-3 die allgemeine Form nimmst: ax^2+bx+c. Und dann siehst du dir die quadratische Ergänzung, binomische Formel und das hier an:

Jetzt bauchst du nur noch einsetzen: a = -3, b = 6, c = -3

Comments

oh gott klingt schwer o.O

---

Auf den ersten Blick vielleicht. Also es geht darum:

1) 2a * (b/2a)x = bx (2a kürzt sich weg), d.h. von dem oberen f(x) bis zum f(x) darunter hat sich dabei schonmal nichts verändert. Ich habe nur eine Umformung gemacht.

2) (b/2a)^2 - (b/2a)^2 = 0, d.h. auch hier hat sich überhaupt nichts verändert, weil ich einfach nur etwas addiert und sofort wieder subtrahiert habe. Ich kann ja auch 5 = 5 oder 5 + 10000 - 10000 = 5 schreiben. Das Ergebnis bleibt dasselbe.

Das heisst, es hat sich durch die Umformungen überhaupt nichts verändert, nur die äußere Form. Allerdings, was sich verändert hat, ist die möglichkeit, dass du jetzt eine binomische Formel bilden kannst

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Wenn man davor noch einen Faktor stehen hat wäre es f(a+b)^2 = f(a^2 + 2ab + b)^2 = fa^2 + f2ab^2 + fb^2. Und das hast du jetzt dort stehen mit ax^2 + 2a * (b/2a)x + (b/2a)^2. Daraus kannst du also die binomische Formel bilden:

ax^2 + 2a * (b/2a)x + (b/2a)^2 = a(x + b/2a)^2. Löse das mal mit der binomischen Formel auf, dann siehst du es. Am Ende bleiben halt noch - (b/2a)^2 + c übrig, und das wären in der Scheitelpunktform dein e.

Answer 2

Wenn nicht unbedingt gefordert es über die quadratische Ergänzung zu machen gibt einen ganz ganz einfachen Weg. Der ist auch ideal um sein Ergebnis zu kontrollieren.

Wenn wir eine allgemeine Quadratische Funktionsgleichung haben

f(x) = ax^2 + bx + c

Dann kann man die Nullstellen über die abc Formel 

x = -b/(2a) ±√(b^2 - 4ac)/(2a) bestimmen

Dabei ist das -b/(2a) natürlich genau die x-Koordinate des Scheitelpunktes. Mit dieser einfachen Formel

x_s = -b/(2a)

können wir also sehr einfach schon die x-Koordinate des Scheitelpunktes bestimmen. Die y-Koordinate bekommt man aber über die gegebene Funktionsgleichung wenn wir unser x_s dort einsetzen.

y_s = f(x_s)

Wenn wir also jetzt den Scheitelpunkt haben können wir die Scheitelpunktform aufstellen. Dabei bleibt der Öffnungsfaktor a einfach unverändert.

f(x) = a * (x - x_s)^2 + y_s

Ich mache das mal für dein Beispiel vor. Dann siehst du wie einfach das geht.

f(x) = -3x^2 + 6x - 3
x_s = -b/(2a) = -6/(2*(-3)) = -6/-6 = 1
y_s = f(x_s) = f(1) = -3*1^2 + 6*1 - 3 = 0
f(x) = a * (x - x_s)^2 + y_s = -3(x - 1)^2 + 0

Das war's dann schon. Das sind also 3 ganz kurze kleine Zeilen die aufzuführen sind.

Answer 3

Wenn du nur diese Aufgabe lösen musst, geht es am schnellsten:

f(x)= -3x² + 6x - 3

= -3(x^2 – 2x + 1)           |Binom

= -3(x-1)^2 + 0

S(1|0)