Du musst unterscheiden zwischen "normalen" Reihen der Form \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n\), wobei \(a_n\) eine Folge ist, und zwischen Potenzreihen, welche die Form \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) haben.
Bei ersteren wird z.B. das Wurzel- oder Quotientenkriterium angewendet, um festzustellen, ob die Reihe konvergiert oder nicht. Bei Potenzreihen hast du jedoch noch ein x als Variable. Hier wird untersucht, für welche x die Reihe konvergiert. Man stellt dabei fest, dass diese x in der Gauß-Ebene (für reelle Zahlen in der Zahlengerade) innerhalb eines Kreises (bzw. Bereichs der Zahlengerade) liegen. Deshalb untersucht man die Reihe bezüglich ihres Konvergenzradius.
Dies geschieht mittels des Cauchy-Hadamard-Kriteriums, welches auf dem Wurzelkriterium aufbaut (!).
Da es sich bei deiner Reihe, um eine Potenzreihe handelt, musst du eben Cauchy-Hadamard verwenden. Beachte außerdem, dass man mit Cauchy-Hadamard zwar den Radius des Konvergenzkreises bestimmt und dadurch weiß, dass die Reihe für alle x, die im Innern des Kreises liegen, konvergiert, aber den Rand musst du separat betrachten. Wenn du z.B. eine reelle Potenzreihe hast mit Konvergenzradius 1, dann weißt du, dass diese für alle \(x\) mit \(|x|<1\) konvergiert. Um den Rand zu untersuchen musst du dann x=1 bzw. x=-1 einsetzen und dann erhältst du jeweils eine "normale" Reihe und musst mit dem Wurzelkriterium o.Ä. arbeiten.
TL;DR:
"Normale" Reihe: Wurzelkriterium anwenden
Potenzreihe: Cauchy-Hadamard zur Bestimmung des Konvergenzradius, Rand des Konvergenzkreises separat untersuchen.
