Exponentialgleichung: Wie berechne ich: 3^{x-1} * 2^{2x} = 5^{3x+1}?

Question

Wir haben eine Matheklausur am Samstag und ich bin meiner Meinung nach gut vorbereitet, jedoch fehlt mir eine Aufgabe und somit wende ich mich an euch.

3^x-1 * 2^2x=5^3x+1

Ich bin mir nicht sicher ob ich das machen kann aber jetzt habe ich alles mit * log10 genommen d.h

log₁₀(3^x-1)+ log₁₀(2^2x) =log₁₀(3^x+1)

Nun komme ich nicht weiter Die Aufgabe ist: löse nach x-auf.

mfg Sina Lilli Lutz

Answer 1

3^{x - 1}·2^{2·x} = 5^{3·x + 1}

Wichtig bei Potenzgleichungen ist, dass wir sie vereinfachen. Zumindest wenn das x an mehreren Orten steht. Zur vereinfachung stehen uns die Potenzgesetze zur Verfügung. D.h. man sollte Versuchen die Potenzen auf die Gleiche Basis oder auf den gleichen Exponenten zu bringen

3^{x - 1} = 3^x * 3^{-1} = 1/3 * 3^x Ist das soweit klar?

2^{2·x} = (2^2)^x = 4^x

5^{3·x + 1} = 5^{3·x} * 5^1 = (5^3)^x * 5 = 5 * 125^x

Also können wir schreiben

1/3 * 3^x * 4^x = 5 * 125^x

1/3 * 12^x = 5 * 125^x

12^x = 15 * 125^x

12^x/125^x = 15

(12/125)^x = 15

x = LN(15) / LN(12/125) = -1.155603828

Comments

Herzlichen Dank Der_Mathecoach.
Da nun 2 verschiedene Resultate rausgekommen sind möchte ich nur kurz in die Runde werfen: Welche ist nun 100% richtig?
mir persönlich macht die von Der_Mathecoach mehr Sinn. Wie sieht das aus?
Freundliche Grüsse Sina Lilli Lutz

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Ich habe geschrieben das georgborn leider die aufgabe verkehrt notiert hatte. Er hat statt dem + im letzten Exponenten ein - geschrieben.

Aber dir sollte es hier nicht um die Lösung gehen sondern um den Lösungsweg. Und der ist bei georgborn völlig richtig. Daher könntest du einfach seine Umformungen modifiziert auch anwenden wenn du die Aufgabe richtig abschreibst.

Für den Mathematiker sollte nicht die Lösung das Ziel sein sondern der Weg :)

Answer 2

Hallo Sina,

Das Ergebnis stimmt.
Es geht sicherlich auch einfacher.
Ich kann eine 2.Lösung auch hier einstellen.

mfg Georg

Comments

Herzlichen Dank Georg.

Ich würde mich sehr über eine 2. Lösung freuen, da ich nicht ganz verstehe, wie du auf diese Rechnung gekommen bist.

mfg Sina Lilli Lutz

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Es wäre natürlich schön zu erfahren, was du an der Lösung nicht verstanden hast. georgborn hat zwar die Aufgabe verkehrt abgeschrieben aber ansonsten ist die Lösung von den Schritten richtig und korrekt.

Ich habe mir daher erlaubt eine zweite Rechnung mit dem + statt - im Exponenten zu machen und eventuell noch was dazu zu schreiben. Wenn du etwas nicht verstehst, dann aber bitte dazu sagen was genau du nicht verstehst.

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Hallo Georg! Kann es ein, dass Du die Aufgabe falsch abgeschrieben hast?

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Holla,

anstelle 3x + 1 beim letzten Exponenten habe ich 3x -1 versehentlich
übernommen.
  Anstelle 3/5 muß es dann 3*5 heißen.
  Ansonsten wäre das Ergebnis richtig. Siehe die Beantwortung durch
den mathecoach.

Answer 3

Da beidseits etwas Positives steht, kannst du auch einfach logarithmieren:

3^{x - 1}·2^2·x = 5^{3·x + 1}      |ln

ln(3^{x - 1}·2^2·x) = ln( 5^{3·x + 1} )

(x-1)ln(3) + 2xln(2) = (3x+1)ln(5)

x(ln3 + 2ln(2) - 3ln(5)) = ln(3) + ln(5)

x = (ln(3) + ln(5))/(ln(3) + 2ln(2) -3ln(5)) = -1.15560

Comments

Du kannst natürlich statt mit dem ln auch überall mit dem log₁₀ rechnen.

Answer 4

Hi, ich würde auch zum vorherigen Vereinfachen neigen, es geht aber auch, so wie Du es gemacht hast, durch sofortiges Logarithmieren:

3^x-1 * 2^2x = 5^3x+1

log₁₀(3^x-1) + log₁₀(2^2x) = log₁₀(5^3x+1)

(x-3)*log₁₀(3) + 2x*log₁₀(2) = (3x+1)*log₁₀(5)

...

Das ist dann eine lineare Gleichung.