Komplexe Zahlen: z⁸ = 256i lösen.

Question

ich habe Probleme bei einer Aufgabe, und zwar soll ich z^8=256i lösen.

zuerst Forme ich es in die Exponentialform um, dafür brauche ich r und phi:

r=sqrt(0²+256²)=256

phi=arctan(0/256)=0 definiert als pi/2 wenn ich das richtig verstanden habe?

dies kann ich dann in die Formel einsetzen:

z^8=256*e^i*(pi/2)

und die ^8 rüberbringen:

z=2*e^i*(pi/16)

Das wäre dann meine Lösung.

Die Lösung vom Prof sieht allerdings so aus:

2*e^^{(pi/16+k*pi/4)}.

Kann mir bitte jemand erklären wo das "+k*pi/4" herkommt?

Schönen Gruß, steve

Answer 1

Beachte π/2 = π/2 + 2kπ, k Element Z, wenn die Winkel im Bogenmass angegeben werden. Schau mal noch in die kostenlosen Videos zum Bogenmass hier: https://www.matheretter.de/wiki/trigonometrische-gleichungen rein.

Daher

z⁸=256*e^{i*(pi/2 + 2kπ)}, k Element Z

und die ⁸ rüberbringen: 

z=2*e^{i*(pi/16 +2kπ/8)}

2. Bruch noch kürzen

z= 2*e^i ^{(pi/16+k*pi/4)} , k Element Z

Zur Illustration (jetzt nicht um diese Schreibweise zu verstehen) betrachte auch:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E8+%3D+256i